Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

Javob: 
                                                                       
   
304.  Faraz  qilaylik,  bunday  tub  sonlarning  soni  chekli  bo‘lib,    ular 
 
 
   
 
       
 
 
lardan  iborat  bo‘lsin. 
      
 
 
 
   
 
 
 
     sonini  qaraymiz.  Bu  son  300-misolga 
asosan faqat 
       ko‘rinishidagi tub sonlarga  bo‘linadi. Lekin   soni  
 
   
 
       
 
 
ning birortasiga ham bo‘linmaydi.  Shuning uchun ham 
  ning o‘zi tub son yoki u 
biror 
 
   
 tub bo‘luvchiga ega. Demak, 
       ko‘rinishidagi tub sonlar soni cheksiz 
ko‘p. 
 
305. 
1).
  
 
             
 
             
 
              
 
 
              
 
             
 
                                    
              ning  topilgan  qiymatini  berilgan  tenglamaga  qo‘yib,     ning  qiymatini 
aniqlaymiz: 
          
 
                          
 
                      
          
 
                   
 
   Shunday  qilib,  izlanayotgan  yechim  (    
                 
 
)
         
Javob:(
                      
 
)
         
2).
   
 
              
 
              
 
            Oxirgi taqqoslamada 
(
 
  
)   (
   
  
)   (
 
  
)       
     
 
      bo‘lgani  uchun  u  yechimga  ega  emas. 
Demak, berilgan egri chiziq butun koordinatali nuqtadan o‘tmaydi. Javob: 
   
3).
  
 
                         
 
                    
 
             
       
 
                                                       
                                                                  ning  bu 
topilgan  qiymatlariga  mos 
  ning qiymatlarini aniqlaymiz. Avvalo,              ga 
mos 
   ning qiymatini aniqlaymiz Buning uchun x ning topilgan qiymatini berilgan 
tenglamaga olib borib qo‘yamiz:  
         
 
                                    
 
             
       
 
          
 Endi 
            ga mos   ning qiymatini aniqlaymiz: 
         
 
                                    
 
                   

---

 
 
227 
 
                      
 
                    
 
          Demak, 
yechimlar  (
            
 
        )  va  (            
 
                   Javob: 
(
            
 
        ) va (            
 
                  
 
4).
 
 
                     
 
                          
 
      
                      
 
                     
 
                     
                                                                    
                                     ning  bu  topilgan  qiymatlariga  mos     ning 
qiymatlarini aniqlaymiz. Avvalo, 
             ga mos   ning qiymatini aniqlaymiz 
Buning  uchun 
   ning  topilgan  qiymatini  berilgan  tenglamaga  olib  borib  qo‘yamiz:  
          
 
                                           
 
             
                
 
                            
 
                   
Endi 
             ga mos   ning qiymatini aniqlaymiz:           
 
                
                      
 
                                       
    
 
               
 
            Demak,  yechimlar  (             
 
       
  ) va (             
 
             
Javob: ((
             
 
          ) va (             
 
             
5).
   
 
    
 
         
 
             
 
                            
ning  bu  topilgan  qiymatlariga  mos 
   ning  qiymatlarini  aniqlaymiz.  Avvalo,     
         ga  mos     ning  qiymatini  aniqlaymiz.  Buning  uchun     ning  topilgan 
qiymatini  berilgan  tenglamaga  olib  borib  qo‘yamiz:   
           
 
    
 
     
                
 
      
 
                       
 
    
 
            
           
 
    
 
     
 
      
 
          .  Bunda  oxirgi  ifodaning  o‘ng 
tomonidagi  uchhadning  diskriminanti  540  ga  teng  va  shuning  uchun  ham  u  to‘liq 
kvadratni bermaydi, ya‘ni y ning butun qiymatlari mavjud emas. Endi 
           ga 
mos 
   ning  qiymatini  aniqlaymiz:  :              
 
    
 
                  
   
 
      
 
                       
 
    
 
                        
 
 
  
 
     
 
      
 
          .  Bunda    ham  oxirgi  ifodaning  o‘ng  tomonidagi 
uchhadning  diskriminanti  540  ga  teng  va  shuning  uchun  ham  u  to‘liq  kvadratni 
bermaydi,  ya‘ni  y  ning  butun  qiymatlari  mavjud.  Demak,  berilgan  tenglama  butun 
sonlarda yechimga ega emas.  Javob: berilgan tenglama yechimga ega emas. 
306.1).  Lejandr  simvolining  ta‘rifiga  asosan
(
 
 
)       
   
 
 
   
 
  (
 
 
)   (
 
 
) 
bo‘lganidan,   
       soni   -tub  moduli bo‘yicha kvadratik  chegirma  bo‘lishi  uchun 
Eyler  kriteriyasiga  asosan 
 
   
 
             
 
           ning bajarilishi zarur 
va  yetarlidir.  Bundan 
 
 
                                          ni 
hosil qilamiz.  Buni 
            ko‘rinishida yozish mumkin.  
Umuman,  butun  sonlarni  5  moduli  bo‘yicha  5  ta:   
                        
           sinfga ajratish mumkin bo‘lgani uchun, agar            yoki            

---

 
 
228 
 
ko‘rinishdagi tub son bo‘lsa, 
      soni  -tub moduli bo‘yicha kvadratik chegirma, 
agar 
            yoki              ko‘rinishdagi  tub  son  bo‘lsa,         soni   -tub 
moduli bo‘yicha kvadratik chegirma emas bo‘lar ekan. 
Javob:
                        va              ko‘rinishdagi  tub    modullar 
bo‘yicha  kvadratik    chegirma, 
              va                ko‘rinishdagi  tub  
modullar bo‘yicha kvadratik  chegirma emas bo‘ladi. 
2)  Lejandr 
simvolining 
ta‘rifiga 
asosan
(
  
 
)   (
    
 
)     (
  
 
) (
 
 
)  
    
   
 
 
    
   
 
 
   
 
  (
 
 
)   (
 
 
)  bo‘lganidan,            soni   -tub  moduli  bo‘yicha 
kvadratik  chegirma  bo‘lishi  uchun  Eyler  kriteriyasiga  asosan 
 
   
 
           
             ning  bajarilishi  zarur  va  yetarlidir.  Buni              ko‘rinishida 
yozish mumkin.  
Umuman,  butun  sonlarni  3  moduli  bo‘yicha  3  ta:   
                      sinfga 
ajratish  mumkin  bo‘lgani  uchun,  agar 
              ko‘rinishdagi  tub  son  bo‘lsa, 
        soni   -tub  moduli  bo‘yicha  kvadratik  chegirma,  agar              yoki 
ko‘rinishdagi tub son bo‘lsa, 
       soni  -tub moduli bo‘yicha kvadratik chegirma 
emas bo‘lar ekan. 
Javob:
                         ko‘rinishdagi  tub    modul  bo‘yicha  kvadratik  
chegirma, 
           ko‘rinishdagi tub  modul bo‘yicha kvadratik  chegirma emas 
bo‘ladi. 
3).Lejandr  simvolining  ta‘rifiga  asosan
(
 
 
)       
   
 
 
   
 
  (
 
 
)       
   
 
  (
 
 
) 
bo‘lganidan,agar
           ko‘rinishida  bo‘lsa, 
(
 
 
)       
  
 
  (
      
 
)       
  
 
  (
 
 
)       
  
 
                    
bo‘ladi.  Agar  bunda   
        bo‘lsa,  (*)  dan  (
 
 
)      hosil  bo‘ladi,  ya‘ni  3  soni 
               ko‘rinishdagi  tub  moduli  bo‘yicha  kvadratik  chegirma  bo‘ladi.  12 
moduli  bo‘yicha  barcha  butun  sonlarni  12  ta  sinfga  ajratish  mumkin.  Bulardan 
                                         sinflardagina  tub  sonlar  bo‘ladi.    Agar  
             bo‘lsa, u holda       
(
 
 
)       
     
 
  (
     
 
)   (
          
 
)   (
 
 
)       
   
 
      
agarda  
             bo‘lsa,  
(
 
 
)       
     
 
  (
       
 
)     (
                
 
)     (
 
 
)       
agarda  
              bo‘lsa,  
(
 
 
)       
      
 
  (
        
 
)     (
                
 
)     (
 
 
)     

---

 
 
229 
 
larni  hosil  qilamiz.  Shunday  qilib,   
      soni                              
ko‘rinishdagi tub modullar bo‘yicha kvadratik chegirma, 
                           
ko‘rinishdagi tub modullar bo‘yicha kvadratik chegirma emas  bo‘lar ekan. 
Javob:
    soni                             ko‘rinishdagi tub modullar bo‘yicha 
kvadratik chegirma, 
                           ko‘rinishdagi tub modullar bo‘yicha 
kvadratik chegirma emas bo‘ladi. 
4). 
       ning  p  moduli  bo‘yicha  kvadratik  chegirma  bo‘lishi  uchun  Lejandr 
simvolining ta‘rifiga asosan 
(
 
 
)       
    
 
    bajarilishi kerak. Buning uchun esa 
 
 
  
 
        
 
             
 
            ko‘rinishida  bo‘lishi  kerak.  Oxirgi 
taqqoslamani   
           ,                                                 
                                              lardan  foydalanib  tekshirsak     
                                                uni qanoatlantiradi. Qolganlari 
qanoatlantirmaydi.  Shuning  uchun  ham  2  soni
                              
                       modullar  bo‘yicha  kvadratik  chegirma,                   
                                    modullar bo‘yicha kvadratik chegirma emas 
bo‘ladi. Bularni 8 moduli birlashtirib, yozib olishimiz mumkin. U holda  2 soni
    
                  modullar  bo‘yicha  kvadratik  chegirma,                       
  modullar bo‘yicha kvadratik chegirma emas bo‘ladi.