Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

Javob:
 
 
      
 
      
 
            
 
IV.5-§. 
 
289. 1). Berilgan taqqoslama ushbu 
{
    
 
    
 
                  
   
 
    
 
                  
 
sistemaga teng kuchli. Bu sistemani soddalashtiramiz: 
{
 
 
             
  
 
   
 
                   
 
Bu sistemadagi 1-taqqoslamaning yechimlari 
                 ikkinchisiniki esa 
                lardan iborat, natijada quydagi 4ta sistemaga ega bo‘lamiz: 

---

 
 
189 
 
a)
 {
           
            
          b)  
{
           
            
c)
 {
           
            
            d)
 {
           
           
  
 
a)dan 
{
       
 
  
 
             {
 
 
          
 
 
        
 
   
 
                   
 
       
   
 
, 
 
 
   ; 
 
b)dan 
{
       
 
  
 
            {
      
                
 
 
                  
        
 
        
   
 
   
 
   
 
 
c) dan
{
          
  
       
 
             {
          
 
  
 
             {
          
 
 
 
         
 
 
                   
 
            
 
   
 
    
 
 
d) dan 
{
          
 
      
 
            {
          
 
  
 
            {
          
 
 
 
        
 
 
                  
 
           
 
   
 
     
Shunday qilib berilgan taqqoslama 4 ta yechimga;    
                         ega ekan. 
 Javob: 
                          
2). Berilgan taqqoslama 
   
 
    
 
                      ushbu  
taqqoslamalar  
{
  
 
    
 
                    
  
 
    
 
                    
  
 
    
 
                    
 
sistemasiga teng kuchli. Bu sistema 
{
 
 
             
                
 
 
    
 
              
 
ga teng kuchli. Bu yerdagi birinchi taqqoslamaning yechimi
                
ikkinchisiniki 
             uchunchisiniki esa                   dan iborat. 
Bulardan 
a)
{
           
           
           
              b)
{
           
           
           
 
 

---

 
 
190 
 
c)
{   
           
                        
           
d) 
{
           
           
           
 
 
e)
{
           
           
           
          f)
{
           
           
           
 
chiziqli taqqoslamalar sistemalariga ega bo‘lamiz. 
 
a) dan 
{
      
 
  
 
         
           
  {
      
 
 
 
        
 
           
  {
          
 
              
      
 
                
 
               
 
          
 
        
 
     
 
   
                  
 
                
 
 
 
b) dan 
{
          
 
      
 
           
           
{
          
 
 
 
        
 
 
           
{
              
 
      
 
         
 
 
    
 
 
            
 
           
 
  
 
c) dan 
{
      
 
  
 
         
           
  {
      
 
 
 
        
 
           
  {
          
 
      
 
         
 
 
          
 
                 
 
            
 
  
 
d) dan 
{
          
 
           
        
 
              
 
          
   
 
             
 
    
 
             
 
  
 
e) dan 
{
          
 
      
 
         
  {
 
 
          
 
 
        
 
  
                
 
            
 
    
  
     
f) dan 
{
          
 
      
 
            {
          
 
 
 
        
 
              
 
, 
 
  
     
 
Shunday qilib, berilgan taqqoslamaning yechimlari 
                                   lardan iborat ekan. 
Javob:
                                    
3).Berilgan taqqoslama
 
 
     
 
                     ushbu  taqqoslamalar  

---

 
 
191 
 
{
 
 
     
 
                   
 
 
     
 
                   
  {
 
 
    
 
                  
 
 
    
 
                 
 
sistemasiga teng kuchli. Bu yerda birinchi taqqoslamaning yechimi
            ; 
ikkinchisining  yechimi  esa
             dan  iborat.    Bulardan  {
           
           
 
sistemaga kelamiz.Buni yechib 
{
          
 
      
 
            {
          
 
  
 
            {
          
 
  
 
           
 
  {
          
 
 
 
         →         
       
 
                
 
   
  
     
Demak,berilgan  sistemaning   yechimi   
              dan iborat. 
Javob:
                
4)  Berilgan  taqqoslama 
 
 
    
 
    
 
    
 
                      ushbu  
taqqoslamalar  
{
 
 
    
 
    
 
    
 
                   
 
 
    
 
    
 
    
 
                   
 
 
    
 
    
 
    
 
                   
 
sistemasiga teng kuchli. Bu sistemadagi taqqoslamalarni soddalashtirib quyidagi 
sistemaga ega bo‘lamiz: 
 
{
  
 
 
 
        
 
 
 
   
 
       
 
         
  
 
     
 
   
 
             
 
 
    
 
    
 
    
 
                  
  
 
{
 
 
   
 
         
           
 
 
    
 
    
 
    
 
                  
  
Birinchi taqqoslamani ixtiyoriy 
      soni qanoatlantiradi. Ikkinchisining yechmi 
             dan  iborat.  Uchinchi  taqqoslamani  yechamiz.  0,             lardan 
faqat  2  uni  qanoatlantiradi.  Demak,    bu    taqqoslama    yagona   
            
yechimga  ega.  Shunday  qilib,  ushbu 
{
           
           
 
sistemani  hosil  qildik. Buni yechib 
{
      
               ,
      
          
              
                  ga ega bolamiz.   Javob:                   

---

 
 
192 
 
 
5).Berilgan taqqoslama 
 
 
   
 
    
 
                    ushbu  
taqqoslamalar  
,
 
 
   
 
    
 
                  
 
 
   
 
    
 
                   
sistemasiga teng kuchli. Bu sistemadagi 
taqqoslamalarni  yechib quyidagilarga ega bo‘lamiz:  
         , ±3 lardan birortasi 
ham qanotlantirmaydi. Berilgan taqqoslama yechimga ega emas. 
 Javob: taqqoslama yechimga ega emas. 
6).  Berilgan  taqqoslama 
  
 
    
 
                    ushbu  taqqoslamalar 
{
  
 
    
 
                  
  
 
    
 
                  
  sistemasiga  teng  kuchli.  Bu  sistemadagi  birinchi 
taqqoslamani  tanlash usuli bilan yechamiz. Buning uchun  0, ±1  larni unga qo‘yib 
tekshirib  ko‘rish  kifoya.  Holda 
                ning  birinchi  taqqoslamani 
qanoatlantirishini  ko‘ramiz.  Sistemadagi  ikkinchi  taqqoslamaning  yechimlari  esa 
                  lardan iborat.  Natijada quydagi 3 ta sistemaga ega bo‘lamiz: 
a)
{
            
           
  b) 
{
            
           
  c)
{
            
           
  
Shuning  uchun  ham  berilgan  taqqoslamaning  yechimini 
     
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(mod15)  ko‘rinishda  izlash  mumkin.  Bizda 
 
 
        
 
       bo‘lgani 
uchun   
  
 
 
             
 
 
     va      
 
 
             
 
 
     ga  ega 
bo‘lamiz.  Bulardan  foydalanib 
      
 
        
 
        
 
             
 
 
  
 
       .  Endi  bunda   
 
       
 
           deb  olib  berilgan  taqqoslamaning 
yechimlari 
 
 
             
 
           ,  
 
           ni hosil qilamiz.      
          Javob:
                  .  
7).  Berilgan  taqqoslama 
                  da                    bo‘lgani  uchun 
ushbu 
taqqoslamalar 
{
              
                 
           
             
sistemasiga 
teng 
kuchli. Shuning uchun ham berilgan taqqoslamaning yechimini 
     
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(mod15)  ko‘rinishda  izlash  mumkin.  Bizda 
 
 
         
 
       bo‘lgani 
uchun   
   
 
 
             
 
 
     va      
 
 
              
 
 
      ga  ega 
bo‘lamiz.  
Bulardan 
foydalanib 
      
 
        
 
           
 
             
 
 
   
 
        .  Endi  bunda   
 
      
 
      deb  olib  berilgan  taqqoslamaning 
yechimlari 
                   ni hosil qilamiz.  Javob:                .  
290.  1).  4
 
 
                       taqqoslamani  yechishimiz  kerak.  Bu 
yerda
       
 
  bo‘lgani  uchun  avvalo,  4
 
 
                     taqqoslamani  
qaraymiz.  Bundan 
  
 
     1

0(mod  3).  Bu  taqqoslamaning  yechimlarini  topish 
uchun 
   moduli  bo‘yicha  chegirmalarning  to‘la  sistemadagi  sonlar         ni  qo‘yib 
tekshirib ko‘ramiz.  U holda  
              uning yechimi  ekanligini ko‘ramiz. 

---

 
 
193 
 
Endi bu 
           
 
  yechimni nazariy qismdagi  
      
 
 
 
+
 
 
 
 
(
 
 
) 

                                                                               (7) 
 ga  olib  borib  qo‘yamiz:  U  holda, 
               
 
                   
 
     
   
 
       
 
            bo‘lgani  uchun     
  
 
+4
 
 

            
 

          
 
 
        
 
                 
 
        
 
   Endi  yana  (7)  dan  foydalanib, 
(nazariy qismdagi (9) ga qarang) 
                     
   
 
 
 
 
+
 
 
 
 
(
 
 
                                                             (9) 
ni tuzib olamiz. Bizda 
        
 
                      
 
          bo‘lgani uchun 
    
 
      
 
              
 
                 
 
             ya‘ni   
 
 
  
 
.  Bu  qiymatni 
   ning  ifodasiga  olib  borib  qo‘ysak              
 
)
     
   
 
,
 
 
  ,  ya‘ni                 berilgan    taqqoslamaning    yechimiga    ega 
bo‘lamiz.  
Javob: 
               
 
2). 
        
 
    
 
    
 
                                           
taqqoslamani  yechishimiz  kerak.  Bu  yerda 
       
 
  bo‘lgani  uchun  avvalo, 
                taqqoslamani  qaraymiz.  Bu   
 
    
 
    
 
          
          ga  teng  kuchli.  Bu  taqqoslamaning  yechimlarini  topish  uchun     moduli 
bo‘yicha chegirmalarning to‘la sistemadagi sonlar 
              ni qo‘yib tekshirib 
ko‘ramiz.    U  holda   
              uning  yechimi    ekanligini  ko‘ramiz.  Demak, 
              berilgan  taqqoslamaning  yechimi.  Endi  bu            
 
    yechimni 
nazariy qismdagi  
                                    
   
 
 
 
+
 
 
 
 
(
 
 
) 

                                                 (7) 
 ga  olib  borib  qo‘yamiz:  U  holda, 
              
 
-3
                     
     
 
       4 
 
    
 
          va   
 
(3)
                               bo‘lgani 
uchun      (7)  dan 
    
 
     
 
          →34 
 
          → 
 
           , 
ya‘ni 
 
 
         
 
. Buni 
  ning ifodasiga qo‘ysak,                  
 
        
   
 
  hosil  bo‘ladi.  Endi  bundan  foydalanib,  (9)  ni  tuzamiz.  Bunda 
       
    
 
 3      
 
                                                
                                                  bo‘lgani    uchun 
   
  
 
 
 
                           
 
            → 
 
-
 
 
           → 
 
         → 
 
        
 
,   
 
 
      Hosil  bo‘lgan  qiymatni    
ning  ifodasiga  olib  borib  qo‘ysak, 
                  
 
                     
 
 
          
 
    
 
    ga  ega  bo‘lamiz,  ya‘ni                    berilgan 
taqqoslamaning yechimiga ega bo‘lamiz.