Panjara nazariyasining asosiy tushunchalari. Panjara to'liqligi mezoni. Minkovskiy lemmasi

Panjara nazariyasining asosiy tushunchalari. Panjara to'liqligi mezoni. Minkovskiy lemmasi
2.3.1. Panjara haqida tushuncha
Keling, avvalo, guruh nazariyasidan ba'zi natijalarni eslaylik
1-ta’rif . elementlar M Additiv abel guruhini hosil qilsa, har qanday element uchun a ∈ M shart bajarilsa shaklida ifodalash mumkin bo’ladi, bu yerda ∈ Z Z-modul sifatida qaraladi. Agar bunday tizim yagona bo’lsa u bazis deyiladi.
2-ta’rif. Agar tenglik bajarilsa, M Additiv abel guruhining elementi chekli tartibli element deyiladi.
1-teorema. Agar chekli tartibli elementlarga ega bo'lmagan Abel guruhi mavjud bo'lsa, unda u bazis hisoblanadi. Bazis elementlari soni guruh invariantidir.
2-teorema. Chekli tartibli elementlarga ega bo’lmagan M Abel guruhi
mavjud bo’lsa N qism guruhi ham guruh tashkil etadi, shuning uchun ham u bazisga ega. Bundan tashqari, har qanday bazisda M guruhining N uchun bazisi mavjud.

3-ta’rif. Panjara – bu guruhining chekli hosil qilingan kichik guruhi. Agar guruhning darajasi n ga teng bo'lsa, u holda panjara to'liq deyiladi, aks holda u to'liq emas. Guruh bazisi bu holda panjara bazisi deb ataladi.
4-ta’rif. R guruhining G qism guruhi diskret deyiladi, agar radiusi r bo'lgan

shar G guruhining cheklangan miqdordagi elementlarini o'z ichiga oladi.
1-lemma. Panjara diskret guruh tashkil qiladi.
5-ta’rif. panjaraning bazisi bo‘lsin. Panjaraning asosiy parallelepipedi

to'plamdir.
2-lemma. Panjara determinanti bazisga bog'liq emas.
3-lemma. Agar M panjaraning asosiy parallelepipedi T bo'lsa, u holda quidagi bo'linish mavjud.

tenglik o’rinli bo’ladi.
4-lemma. M panjara berilgan bo'lsin. Har qanday r > 0 uchun

to'plam chekli to’plam bo’ladi.
5-lemma. Elementlar to'plami diskret bo'lgan qism to’plam panjaradir.
6-lemma. M panjaraning bazisi bo'lsin. U holda uning determinanti quyidagi determinantning kvadrat ildiziga teng bo'ladi.

2.3.2. Panjara to'liqligi mezoni. Minkovskiy teoremasi

3-teorema. L chiziqli fazodagi M panjara to‘liq bo‘ladi, agar L fazoda cheklangan U to‘plam mavjud bo‘lsa, uning vektorlari M panjaradan vektorlar bo’yicha siljishlari butun L fazoni to‘liq to‘ldiradi.
4-teorema. (Minkovskiyning qavariq tana lemmasi)
M panjara n o'lchovli fazoda berilgan bo'lsin, asosiy parallelepipedning hajmi ∆ ga teng va hajmli chegaralangan markaziy simmetrik qavariq X to'plam. Agar bo'lsa, X to'plam M panjarasining kamida bitta nolga teng nuqtasini o'z ichiga oladi.
5-teorema. (Adamar tengsizligi)
panjaraning determinanti, esa uning bazisi bo‘lsin. U holda quidagi tengsizlik o’rinli.

Bu yerda - evklid normasi, ya'ni .
Ta’rif. fazoda radiusi r bo‘lgan -ochiq shar va L-panjara berilgan bo‘lsin. ning Minimum ketma-ketligini quidagi formula bilan aniqlanadi.

6-teorema. (Minkovskiyning ikkinchi teoremasi) Quidagi tengsizlik yuzaga keladigan mustaqil panjara vektorlari mavjud.