O'zbetinshe jumis: 1-a. Tj kurs studenti Orinladi: Qadirbergenov. Z

Navoiy mamleketlik kanshilik instituti
Nukus filiali



Pan: Joqari matematika

Tema: Funkciyalardi Teylor ha’m Makloren qatarina jayiwg’a misallar. Lopital qaydasi

O'zbetinshe jumis:

1-a.TJ_kurs studenti

Orinladi: _____________________________Qadirbergenov.Z

Qabul qildi: ______________________________ Ibraimov.I

Nukus-2021

Reja:

1.Teylor qatari.

2. Makloren qatari.

1. TEYLOR QATARI

f(x) Funktsiyanı qandayda-bir dárejeli qatardıń jıyındısı kórinisinde ańlatıwǵa berilgen funktsiyanı qatarǵa jayıw dep ataladı. Shama menen oylayıq, f(x) funktsiya birar (-R; R) oraliqda darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:

f(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+…+a_n(x-x₀)ⁿ+… (1)

(1) Qatardıń koefficientleri hám x0 noqat daǵı tuwındıların f (x) funktsiyanıń bahaları arqalı ańlatpalaymız. Ol halda, qatardıń birinshi hadi f(x₀) =x₀ (2)

den ibarat boladi.

f(x) funktsiya x₀ nuqtada aniqlangan va shu nuqtada istalgan tartibli hosilaga ega ekanligini e`tiborga olib, ni topamiz:

f`(x)=a₁+2a₂(x-x₀)+3a₃(x-x₀)²+…+na_n(x-x­₀)^n-1+… (3)

Bundan, x = x₀ bo`lgan holda

f`(x₀)=a₁ (4)

ekanligi ko`rinadi. (3) ning ikkala tomonini differentsiallab, quyidagini hosil qilamiz:

(5)

x = x₀ bo`lganda

. (6)

Joqaridagi jarayonni davom ettirsak, quyidagilar hosil bo`ladi:

(7)

(2), (4), (6) va (7) lardan (1)- qator koeffisiyentlarini topamiz:

, , ,…, ,… (8)

a_0­­, a_1, a₂,… a_n lar Teylor koeffitsiyentlaridan iborat.

Agar (8)- qatordagi a_0­­,_, a₁,…a_n larning qiymatlari (1)- qatorga qo`yilsa, f(x) funktsiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi Teylor qatori hosil bo`ladi:

(9)

f(x) funktsiyaning x₀ nuqtadagi integral ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagidan iborat:



R_n (x) – qoldiq had.

Bunda, .

2. MAKLOREN QATARI

Faraz qilaylik, berilgan f(x) funktsiya quyidagi darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:

(1)

Bundagi a₀, a₁, a₂, a₃,… lar aniqmas koeffisiyentlardan iborat. Shu koeffisiyentlarni berilgan f(x) funktsiya orqali ifodalaymiz. Darajali qatorni uning yaqinlashish oraligi da hadlab differentsiallaymiz:

Hosil bo`lgan tengliklar va (1) tenglikda x=0 deb, quyidagi a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,… larga ega bo`lamiz:

, , , , ,...

Bu qiymatlarni (1) qatorga qo`yamiz:

(2)

Hosil bo`lgan (2) qatorga Makloren qatori deyiladi.

formula esa qoldiq hadli Makloren formulasidir.

Teylor hám Makloren qatarlarınan usıdan ayqın boladı, Makloren qatarı Teylor qatarınıń jeke jaǵdayından ibarat bolıp, Teylor qatarındaǵı x = 0 bolǵanda eki qatar da birdey kóriniske iye boladı.