O‘zbekiston resrublikasi

Isboti. Nyuton binomi formulasida b ni (-b) ga almashtirsak kerakli formulani hosil qilamiz.
1-misol. Oxirgi formuladan xususiy holda quyidagi qisqa ko‘paytirish formulalari kelib chiqadi:
n=2 bo‘lganda ayirmaning kvadrati formulasi



n=3 bo‘lganda ayirmaning kubi formulasi
a  b³  a³  3a²b  3ab²  b³.

3. 
   Binomial koeffitsientlarning xossalari. Binomial koeffisiyentlarning ba’zi xossalarini keltiramiz. Bu xossalar bevosita Guruhlashlarga oid bo‘lib, tabiiyki, ular Paskal uchburchagining xossalarini ham ifodalaydi.
   

1. 
   xossa. tenglik o‘rinlidir.
   

Haqiqatan ham,

Bu xossa binomial koeffisiyentlar qatoridagi istalgan ketma-ket ikki elementning biri ma’lum bo‘lsa, osonlik bilan hisoblash mumkinligini ko‘rsatadi:

Bu yerda m=0,1,2,…,n-1.

2. 
   xossa. Ixtiyoriy natural n son uchun barcha binomial koeffitsientlar yig‘indisi ga teng, ya’ni
   

Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a=b=1 deb olganda hosil bo‘ladi.

3. 
   xossa. Toq o‘rinlarda turgan binomial koeffitsientlar yig‘indisi juft o‘rinlarda turgan binomial koeffitsientlar yig‘indisiga teng.
   

Haqiqatan ham, Nyuton binomi formulasida a=1 va b=-1 deb olganda
^-
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to‘g‘ri ekanligi kelib chiqadi. 2- va 3-xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.

4. 
   xossa. n natural sondan oshmaydigan eng katta toq m son uchun
   

tenglik hamda n sondan oshmaydigan eng katta juft m son uchun

tenglik o‘rinli.

5. 
   xossa. Toq n son uchun
   

Juft n son uchun esa

munosabatlar o‘rinlidir.

Binomial koeffitsientlarning 5-xossasi Paskal uchburchagining yuqorida keltirilgan xossalari tasdig‘i bo‘lib, unga ko‘ra binomial koeffitsientlar oldin
dan gacha o‘sadi, keyin esa 1 gacha kamayadi hamda n toq bo‘lganda binomial koeffitsientlar qatorining o‘rtasidagi ikkita hadi tengdir va n juft bo‘lganda uning o‘rtasidagi hadi eng katta va yagonadir.
Quyidagi 6-8-xossalar o‘rinlidir.

6.