O„zbekiston respublikasi xalq ta‟lim vazirligi

masala. Ixtiyoriy uchburchak medianalari uchun ^{p m}_a

3

m_b m_{c 4} p

tengsizlik o‘rinli ekanini isbotlang. Bu yerda p-uchburchakning peremetri.

Isboti. Aytaylik C₁ nuqta AB ning o‘rtasi va C^/ nuqta C ning C₁ ga nisbatan simmetriya bo‘lsin. U holda 2C₁C=CC^/ /B+BC bo‘ladi. Ammo

C^/B=AC bo‘lgani uchun CC₁< ,

Ya‘ni m_c

1. 
   _. 2
   

huddi shu kabi

m_a va

m_b munosabatlarni

ko‘rsatish mumkin. Bu uchta tengsizlikni qo‘shsak m_a

m_b m_c a b

p kelib

chiqadi.

Aytaylik, O nuqta ABC uchburchak medianalari kesishgan nuqta bo‘lsin. U holda

BO+OA>BA, AO+OC >AC va CO+OB>CB bo‘ladi. Bu yerda AO= ² m ;

3. 
   a
   

BO = ² m

₃ b

CO= ² m

₃ c

chiqadi.

;
ekanini hisobga olsak, u holda
m + m m ³ (a

a b c ₄

2. 
   c) munosabat kelib
   

3. 
   masala. Aytaylik , ABC uchburchakda balandlik AP= h_a ,bissektrisa
   

AK= l_a , mediana AD

^ma va tamonlar AC

b, BC

c bo‘lsin.

m_a

Agar a)	1 b	1 c		1 ha	bo‘lsa, u holda A	120^0 bo‘lishini;
b)	1 b	1 c		1 la	bo‘lsa, u holda A	120^0 bo‘lishini;
c)		1 b	1 c		^1bo‘lsa, u holda	A 120^0 bo‘lishini ko‘rsating.

Yechish. Masalaga moslab shakl chizib olamiz. U holda

^S ABC

^{, S} ABC

¹ bc sin A, 2

^S BAK

1. 
   cl
   
2. 
   a
   

sin ^A ,

2

^S CAK

1. 
   bl
   
2. 
   a
   

sin ^A

2

larga ko‘ra

1. 
   (cl
   
2. 
   a
   

sin ^A

2

bl_a

A

sin ) 2

¹ bc sin A

2

tenglikni, undan esa

l_a ^va
1

l


a

2

,

2bc cos ^{b c}

2

ni topamiz.

l_a

Agar b)

b c

chiqadi.

bo‘lsa, u holda

l_a

2 cos ^A

2

l_a l_a
dan
cos ^A

2

¹ , ya‘ni

2

A 120⁰
kelib

Agar a)

b c

uchun

bo‘lsa, u holda h_a

h_a

1. 
   ^ma
   

, ya‘ni

h_a l_a

bo‘ladi. shuning

m_a

2. 
   c h_a
   

l_a l_a

dan

2 cos ^A

2

1, cos ^A

2

1 _va A

2 2

60⁰ , A

¹²⁰⁰ kelib

chiqadi.
Agar c)

b c

bo‘lsa, u holda

m_a


l_a m_a

dan ^, bundan esa

l_a l_a

A 120⁰ kelib chiqadi.

Bu masalada biz foydalangan ^h_a ^l_a ^m_a munosabatni isbotlashni

o‘quvchining o‘ziga havola etamiz.

3.