O`zbеkiston Rеspublikasi

4-misol.

====

Yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning hosilasi.

Teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar x(a,b) nuqtada u(x) va v(x) hosilalarga ega bo’lsa, u holda ularning algebraik yisindisi, ko’paytmasi va bo’linmasi shu x nuqtada xosilaga ega bo’lib, quyidagi formulalar bo’yicha topiladi:

(u±v)'=u'±v'; (uv)'=u'v+uv'; () ' = (v(x) 0)

Darajali, ko’rsatkichli va logorifmik funksiyalarning hosilalari.

1) darajali funksiyaning xosilasini topaylik. Funksiya hosilasining ta’rifiga ko’ra ^, = =;

==nx^n-1. y'=(xⁿ)'=nx^n-1.

2) y=^x (>0 , 1) ko’rsatkichli funksiyaning hosilasi.

y=-^x= ^x (-1); =, =ln ajoyib limitga ko’ra

y'===^x =^x ln. Demak, y'=(^x)’=^xln.

3) y= log_ax (a>0, a1) logarifmik funksiyaning xosilasi ham y'=(log_ax)'= log_ae formula bilan topiladi. Agar log_ae=; log_ea=lna; log_ex=lnx ; log_xe=. ekanligini e’tiborga olsak y'=(log_ax)'= kelib chiqadi.

5-§. Trigonometrik funksiyalarning hosilasi. Murakkab funksiyaning hosilasi. Teskari funksiyaning hosilasi. Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilasi.

Trigonometrik funksiyalarning hosilasi. funksiyaning hosilasini ko’raylik. y=sinx funksiyanig hosilasini topish uchun x ga x orttirma bersak u ham u orttirma olib y=sin(x+x)-sinx=2sin()cos[] , y'==[]=cosx.

y'=(sinx)'=cosx xuddi shuningdek o’rta maktab dasturidan bizga ma’lum bo’lgan boshqa trigonometrik funksiyalarning hosilalarini hisoblash mumkin:

(cosx)'=-sinx, (tgx) '=, (ctgx) '=.

Murakkab funksiyaning hosilasi.

Agar o’zgaruvchi o’zgaruvchining u=f(u) funksiyasi bo’lib, u esa o’z navbatida x ning funksiyasi u=(x) bo’lsa, u holda u=f((x)) funksiyani x ning murakkab funksiyasi deyiladi.

Teorema. Agar u=(x) funksiya o’zgaruvchi x nuqtada u_x'='(x) hosilaga, u=f(u) funksiya esa o’zgaruvchi u bo’yicha u_u'=f '(u) hosilaga ega bo’lsa, u holda u=f((x)) murakkab funksiya ham shu x nuqtada hosilaga ega bo’ladi.

1-misol. ,

2-misol. ,

Teskari funksiyaning hosilasi.

1-teorema. Agar u=f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, shu kesmada o’suvchi (kamayuvchi) bo’lsa, bu funksiyaga teskari bo’lgan x=(u) funksiya mavjud bo’ladi. u=f(x) ga teskari bo’lgan funksiyani topish uchun tenglamani x ga nisbatan yechish kerak.

2-teorema. Agar u=f(x) funksiya x nuqtada chekli f '(x) 0 hosilaga ega bo’lsa, u holda bu funksiyaga teskari bo’lgan x=(u) funksiya xam shu nuqtada '(u)= hosilaga ega bo’ladi.

Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilasi. Endi y=arcsinx teskari trigonometrik funksiyaning hosilasini hisoblashni ko’raylik.

y=arcsinx funksiya x=siny funksiyaga teskari funksiya bo’lgani uchun, teskari funksiyalarning hosilalariga ko’ra

y'=(arcsinx) '==== (arcsinx) '=, (-1

Хuddi shuningdek (arccosx) '=-; (arctgx) '=; (arcctgx) '= -.