O`zbеkiston Rеspublikasi

Vektorlar ustida chiziqli amallar. Vektorlarni qo’shish, ayirish amallari o’rta maktab dasturidan ma’lum bo’lgan uchburchak va parallelogramm qoidalariga asosan amalga oshiriladi.

Vektorni songa ko’paytirish. vektorni biror  xaqiqiy songa ko’paytirganda shu ga kollinear bo’lgan vektor xosil bo’lib, uning uzunligi ||= |||| ga teng bo’lib, yo’nalishi esa  >0 bo’lsa, vektor yo’nalishi bilan bir xil ,  <0 bo’lsa, yo’nalishiga qarshi bo’ladi. Vektorlarni songa ko’paytirish qoidasidan ko’rinadiki =bo’lsa va vektorlar kollinear vektorlar va aksincha. Demak va vektorlarning kollinear vektorlar bo’lishi uchun = tenglik o’rinli bo’lishi zarur va kifoya.

Vektorlarning o’qqa proyeksiyasi. Proyeksiya so’zi lotincha «projectiv» so’zidan olingan bo’lib, «tasvir» yoki «soya» degan ma’noni bildiradi. Biror A nuqtaning u o’qdagi proyeksiyasi deb, shu nuqtadan u o’qqa tushirilgan perpendikulyarning A₁ asosiga aytiladi va qo’yidagicha yoziladi

1-chizma 2-chizma

A . B. A a B

__________________ u _________________________ u

A₁ B₁ O A₁ B₁

Pr _uA=A₁, pr_uV=V_1. vektorning o’qdagi geometrik proyeksiyasi deb, vektor boshining proyeksiyasi bo’lgan A₁ dan uchining proyeksiyasi bo’lgan B₁ nuqta tomon yo’nalgan vektorga aytiladi. pr_u =. Har qanday vektorning biror o’qdagi geometrik proyeksiyasi vektordir, lekin uning algebraik miqdori biror aniq sondir. Shuning uchun vektorning proyeksiyasi deb shu son qabul qilinadi. Demak, vektorning uzunligi vektorning u o’qdagi proyeksiyasi deyiladi. Agar A₁ va B₁ nuqtalarning koordinatalarini mos ravishda x₁, x₂ desak pr_u=x₂ - x₁ bo’ladi.

Teorema. vektorning u o’qdagi proyeksiyasi shu vektor uzunligini, shu vektor bilan u o’q orasidagi  burchak kosinusi ko’paytmasiga teng bo’ladi: pr _u=||cos

Vektor koordinatalari deganda vektorning uchi bilan boshining bir xil koordinatalari ayirmalariga shu vektorning koordinatalari deyiladi va qo’yidagicha yoziladi ={x₂-x₁; y₂-y₁}

Vektor koordinatalar kvadratlarining yig’indisidan olingan kvadrat ildizga vektor uzunligi deyiladi.



Vektorni bazislar bo’yicha yoyish. 1-ta’rif. Tekislikdagi bazis deb ikkita kollinear bo’lmagan, ya’ni chiziqli bog’liqsiz _{1, 2} vektorlarga aytiladi.

1-teorema. Tekislikdagi biror vektorning ₁ va ₂ bazislar orqali yoyilmasi ko’rinishda bo’lib, yagona bo’ladi.

2-ta’rif. Fazodagi bazis deb, undagi xar qanday uchta komplanar bo’lmagan, ya’ni chiziqli bog’liqsiz bo’lgan vektorlarga aytiladi.

2-teorema. Fazodagi biror vektorning bazislar orqali yoyilmasi =₁₁+ _{2 2}+₃₃ (2) ko’rinishda bo’lib, yagona bo’ladi.