O‘zbekiston respublikasi

Oddiy differensial tenglamalarning normal sistemasi uchun otishmalar usuli

Oddiy differensial tenglamalarning normal sistemasi uchun otishmalar usulini qaraylik. Buni shunday tushuntirish mumkinki, ixtiyoriy tartibli differensial tenglama unga ekvivalent bo‘lgan oddiy differensial tenglamalarning normal sistemasiga keltiriladi. Buni tushuntirish uchun yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan m-tartibli oddiy differensial tenglama uchun quydagi ikki nuqtali chegaraviy masalani misol qilib keltiraylik:

u^(m) = f (x,u,u',u",...,u^(m-1)), x [а, b] (1)

g_i (и(а),и'(а),и"(а),..., u^(m-1)(а)) = 0, і= 1, 2,..., k;

g_i (u(b),u'(b),u"(b),..., u^(m-1)(b)) = 0, і = k + 1, k + 2, ...,m; (2)

bu yerda g_i – funksiya bo‘lib, u(x) yechimning va uning hosilasining [a,b] kesma oxirlaridagi qiymatlaridan bog‘liq.

Ushbu

u₁(х) = и(х), u₂(х) = и'(х), ... , и_т(х) = u^(m-1)(х)

almashtirish (1) ni quyidagi oddiy differensial tenglamalarning normal sistemasi ko‘rinishida yozish imkonini berdi:

yoki vektor shaklida

и'₁ = u₂ и'₂ = u₃

…

и'_m-1 = u_m (3)

u'_m=f(x,u₁,u₂,…,u_m)

bu yerda

–

(4)

m o‘lchovli vektor-funksiya. (2) chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin:

, і = 1,2,...,k, , і = k + 1, k + 2,... ,т. (5)

(4)-(5) masala yechimining birinchi komponentasi (1)-(2) chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimi bo‘ladi.

Xuddi shunday ixtiyoriy tartibli differensial tenglamalar sistemasini unga ekvivalent bo‘lgan tenglamalarning normal sistemasi bilan almashtirish mumkin. Buni shunday tushuntirish mumkinki, ko‘pgina standart usullar, ularning algoritmlari va ularga mos dasturlar (4) ga o‘xshash sistemalar uchun quriladi.