O‘zbekiston respublikasi

O‘q otish (otishmalar) usuliga oid ba’zi misollar

va ularni Mathcad matematik paketi yordamida yechish

1. 
   misol. Ushbu
   

tenglamani

y^  y = e^{x
y(0) = 1}; ^{y(1) = 2.}

chegaraviy shartlarda o‘q otish usuli bilan Mathcad matematik paketidan foydalanib yeching.

Yechish. Bu chegaraviy masalaning aniq yechimi quyidagicha;

yt(t) : ¹  _e^t  cos(t)_  ^sin(t)  ^2  ¹  _e^1  cos(1)_^

2 sin(1) ^_ 2 ^_

Chegaraviy shartlarni tekshiramiz:

yt(0)  1_; yt(1)  2 _.

Ammo shuni e’tiborga olamizki, bu tenglama ushbu

yt(0) = 1 _; ^{yt   = 1}
 ₂ 

 

chegaraviy shartlarda yechimga ega emas.

Bu tenglamani o‘q otish usuli bilan yechishning algoritmini Mathcad matematik paketi yordamida tuzamiz:

Berilgan:

f (x) : e^x

N : 2  FRAME

j: 0...N

a : 0

b : 1

_{h :} b  a

N

h  0.5

Diskret o‘zgaruvchilarga o‘tamiz:

x _j : j h

x₀ : a

x _N : b

Chap chegaradagi shart: agar

y1₀ : 0

y0₀ : 1

bo‘lsa, u holda o‘ng chegarada

Bu yerda va bundan keyin quyidagi belgilashlar kiritilgan:

y0 _{j -}

birjinsli bo‘lmagan differensial tenglama xususiy yechimining diskret

qiymati; qiymati.

y1_j

• 
  birjinsli differensial tenglama umumiy yechimining diskret
  

Quyidagi qiymatlarni ixtiyoriy beramiz:

m : 0.5 

¹  FRAME

50

y0₁ : y0₀  _m
h


y1₁ : h

y1₁ : 0

Ana shu qiymatlar qolgan barcha uchun yetarli.

y0_j

y1_j

j  2, N.

qiymatlarni topish

Algoritm: ^{j: 1...N 1 y01  2} .

Birjinsli va birjinsli bo‘lmagan differensial tenglamalarning mos xususiy va umumiy yechimlarini hisoblashning rekurrent formulalarini ayirmali ko‘rinishda yozamiz:

y0_j1  2  y0_j  y0<sub>j1  y0

= e</sub>x_j

y1_j1  2  y1_j  y1_{j1  y1 = 0}

_h2 j _h2 j

Bu tenglamalar quyidagilarni yozamiz:

y0 : h²  _e^xj  y0 _ y0  2  y0 ^{y1 : h2  y1}
j1 j j1 j

j1 j j1 j

• 
  y1
  

 2  y1

Hisoblashlarning oxirida quyidagini topamiz:

_{B :} 2  y0_N

y1_N

Endi y vektorning barcha komponentalari qiymatlarini yozamiz:

j: 0...N

y_j : y0_j  B y1_j

y_N  2

Hosil qilingan natijalarni taqqoslash grafigini chizamiz (4-rasm).
2

y

1.5

yt( t)


¹ 0 0.5 1

x  t

4-rasm.

2. 
   misol. Ushbu
   

tenglamani

y^  y = e^x

y(0)  1, y(4)  2

chegaraviy shartlarda o‘q otish usuli bilan Mathcad matematik paketidan foydalanib yeching.

Yechish. Bunga mos boshlang‘ich qiymatlarga tuzatishlar kiritamiz:

a  x  b,

bunda ^{a : 0}

^{b : 4} _. Boshlang‘ich nuqtalar soni: ^{N : 40} ; x

bo‘yicha:

^{h : b  a} , bunda ^{h  0.1}.

Animatsiya parametrini tanlaymiz:

N

): ^{s0 : 1} , ^{s1: 1} .

m : 0.2 

^{1  FRAME} , ishoralar (+, –

20

Birjinsli va birjinsli bo‘lmagan dastlabki differensial tenglama mos

xususiy yechimini diskret boshlang‘ich qiymatini beramiz:

y0₀ : 1 _,

y1₀ : 0 _.

Quyidagi qiymatlarni ixtiyoriy beramiz:

y0₁ : y0₀

• 
  s0  ^h
  

m

y1₁ : s1 h

y1₁  0

Animatsiya holatida bu tasdiqni tahlil qilamiz. Erkli o‘zgaruvchi-

larning diskret qiymatlari: ^{j: 1...N 1}

x _j : j h

x₀ : a

x _N : b

Dastlabki birjinsli va birjinsli bo‘lmagan differensial tenglamani

ayirmali ko‘rinishda yozamiz va ularning taqribiy yechimlarini diskret nuqtalarda yozamiz:

^{y0  h2 } _^{exj  y0} _^{ y0  2  y0} y1  h²  y1  y1  2  y1
j1 j j1 j

j1 j j1 j

_{B :} 2  y0_N
j: 0...N

y : y0

• 
  B y1
  

y1_N

Natijada quyidagiga ega bo‘lamiz:

j j j

y  2 yt(t) : ¹  _e^t  cos(t)_  ^sin(t)  ^2  ¹  _e^4  cos(4)_<sup>




N</sup> 2 sin(4) ^_ 2 ^_

Chegaraviy shartni tekshiramiz: ^{yt(0)  1}

yt(4)  2

Natijalarning animatsion grafigi 5- va 6-rasmlarda keltirilgan:

Ushbu

yt(0) 1,

yt^{  }  1

 

 ₂ 

chegaraviy shartlarda berilgan tenglama

yechimga ega emas. Bu holda:

_y(x)  ¹ _e^x  cos(x)_  B  sin(x),
2


y^(x)  ^1 _e^x  sin(x)_  B  cos(x)

,

2

 ^ 

_1 ^  ^{ }

y(0)  1_,

y^_{ } 

_ e ² 1_  0.

 ² 

²  

² 5 5

y

yt( t)

0

2

⁴ 0 1 2 3 4

x  t

5-rasm.

yt( t)

2.5
0 0 y

2.5

⁵ 0 2.5 5 7.5 ⁵
10

t  x

6-rasm.

3. 
   misol. Ushbu
   

differensial tenglamani

y" y = e^x
y(0)  1 _; y(4)  2

chegaraviy shartlarda o‘q otish usuli bilan sonly yechimg. Chegaraviy shartlarni boshqasi bilan almashtiring va mos yechimni toping. Olingan taqribiy yechimni aniq yechim bilan taqqoslang, grafiklarni chizing, animatsiyalarni ko‘rsating.

Yechish. Berilgan differensial tenglamaning aniq yechimi quyidagicha:

yt(t) : ¹  (e^t  cos(t))  ^sin(t)  ^2  ¹  (e^4  cos(4))^

2 sin(4) ^_ 2 ^_

Bu yechim ushbu ^{yt(0)  1}

qanoatlantiradi.

yt(4)  2

chegaraviy shartlarni

Bu tenglamani yechishning o‘q otish usuli bo‘yicha algoritmini keltiramiz:

Berilgan:

f (x) : e^x

N : 40  FRAME

j: 0..N

Diskret o‘zgaruvchilarga o‘tamiz:

x _j : j h

x₀ : a

x _N : b

Chegaraviy shartlar:

y0₀ : 1

y1₀ : 0

Bu yerda va bundan keyin quyidagi belgilashlar kiritilgan:

y0 _{j -}

birjinsli bo‘lmagan differensial tenglama xususiy yechimining diskret

qiymati; qiymati.

y1_j

- birjinsli differensial tenglama umumiy yechimining diskret

Quyidagi qiymatlarni ixtiyoriy beramiz:

m : 0.1 

¹  FRAME

20

y0₁ : y0₀  _m
h

y1₁ : h, y1₁  0

_Algoritm: j:1..N 1

Birjinsli va birjinsli bo‘lmagan differensial tenglamalarning mos xususiy va umumiy yechimlarini hisoblashning rekurrent formulalarini ayirmali ko‘rinishda yozamiz:

^y0_j1 ^{ 2  y0}_j ^{ y0}_{j1  y0 = e}X _j y1_j1  2  y1_j  y1<sub>j1  y1 = 0



h2</sub> ^j _h2 j

Bu tenglamalardan foydalanib, quyidagilarni yozamiz:

y0 : h²  (e^xj  y0 )  y0  2  y0
j1 j j1 j

y1_j1 : h²  y1_j  y1_j1  2  y1_j

_{B :} 2  y0_N

y1_N

j: 0..N

B  6.446

y_j : y0_j  B y1_j

y_N  2

Differensial tenglama yechimining grafigi 7-rasmda tasvirlangan
h

Quyidagilarni erkli beramiz:

y1₁ : h y1₁  0 _.

m : 0.5 

¹  FRAME

50

y0₁ : y0₀  _m

Grafikni qurish uchun zarur bo‘lgan parametrlarni kiritamiz (8-rasm):

N : 0

j:1..N 1

a : 0

b : 4

_{h :} b  a

N

h  0.1

y0₀ : 1

y1₀ : 0

x _j : j h

x₀ : a

x _N : b

y0 : h²  (ex ^j  y0 )  y0  2  y0
j1 j j1 j

y1_j1 : h²  y1_j  y1_j1  2  y1<sub>j

B :</sub> 2  y0_N

y1_N

j: 0..N

y_j : y0_j  B y1_j

y_N  2

yt(t) : ¹  (e^t  cos(t))  ^sin(t)  ^2  ¹  (e^4  cos(4))^

2 sin(4) ^_ 2 ^_

yt(0)  1 yt(4)  2

Bu grafikdan ko‘rinadiki, olingan yechim aniq yechimdan deyali farq qilmaydi.

4. 
   misol. Issiqlik o‘tkazuvchanlikning statsionar tenglamasi yoki
   

«Reaksiya-diffuziya» turidagi statsionar tenglamalardan biri quyidagi ikki nuqtali chegaraviy masalaga olib kelingan:

уʹʹ+ x²y +2 = 0;

y(-1) = 0; y(1) = 0.

Bu chegaraviy masalani o‘q otish usuli bilan yeching.

2 y ^0 yt (t) 2 ^40 1 2 3 4 xt 7-rasm.

8-rasm.

Yechish. Dastlab berilgan chegaraviy masalani quyidagi birinchi tartibli ikkita tenglamalar sistemasiga keltirib olamiz:

_ y'  f ,

^ f '  2  x² y,



^ y(1)  0, y(1)  0.


Endi bu masalani Koshi masalasiga keltiramiz. Buning uchun α parametrni shunday kiritamizki, uning qiymati hozircha noma’lum f (-1) gat eng bo‘lsin. Ana shu x=1 nuqtada chegaraviy shart bajarilayotgandagi α parametrni topish uchun masalaga yana ikkita tenglama kiritamiz. Buning uchun dastlabki sistemani α parametr bo‘yicha integrallaymiz:

p  ^y ,

^{q  f} . Natijada quyidagi oddiy differensial tenglamalar

 

sistemasiga ega bo‘lamiz:

_ y'  f ,

^ f '  2  x² y,



^ p'  q,

^q'  x² p,


^ y(1)  0,



^_ p(1)  1,

f (1)   ,

q(1)  0.

Bu sistemani fiksirlangan α parameter uchun yechib, y(2) ning qiymatini topamiz, bu qiymat, umuman olganda, haqiqiysidan farq qiladi. α parameterning qiymatini to‘g‘rilash uchun uning yangi qiymatini quyidagi formula yordamida hisoblaymiz:

^new

^{ }old

_ y(1)_calc  y(1) _.

f (1)

Bu yerda y(1)_calc – hisoblashlar natijasida topilgan y(1) ning qiymati. Endi oxirgi sistemani yana bir bor yechamiz va hokazo.

Bu hisoblashlar jarayoni |α _new - α _old |< shart bajarilgunga qadar qayta bajariladi, bu yerda  - oldindan berilgan hisob aniqligi.

Dastlabki berilgan chegaraviy masalani o‘q otish usuli bilan yechishda avvalo u Koshi masalasini yechishga olib kelinadi, keyin esa

«yetishmayotgan» vektor shaklidagi boshlang‘ich qiymat otishmalar usuli yordamida aniqlab olinadi. Bu vektorni topib olish uchun Mathcad da ushbu