O‘zbekiston respublikasi


O‘q otish (otishmalar) usuliga oid misollar va ularni yechish uslubi



Download 0,64 Mb.
bet7/14
Sana25.05.2020
Hajmi0,64 Mb.
#56023
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   14
Bog'liq
oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni oqitish usuli bilan sonli yechish

O‘q otish (otishmalar) usuliga oid misollar va ularni yechish uslubi





    1. misol. Quyidagi tenglama bilan berilgan to‘rtinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani yechish uchun o‘q otish (otishmalar) usuli algoritmini tuzing:

(x  1)uIV

 (4  x)u ' '3u  6x  3 ,



x [0,1] .

Chap chegara x = 0 dagi chegaraviy shart quyidagicha berilgan:

2u(0)  u ' ' ' (0)  2 ,



u(0)  2u ' ' ' (0)  1;

O‘ng chegara x = 1 dagi chegaraviy shart quyidagicha berilgan:



u(1)  u ' ' (1)  3,

u ' (1)  u ' ' (1)  2 .

Yechish. Quyidagi yangi o‘zgaruvchilar kiritamiz:

u1 (x)  u(x) ,

u2(x) u(x) ,

u3 (x)  u (x) ,

u4 (x)  u(x) .

Bulardan foydalanib, berilgan chegaraviy masala quyidagi to‘rtinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan chegaraviy masalaga olib kelinadi:

u1(x) u2(x) ,

u2 (x)  u3 (x) ,

u3 (x)  u4 (x) ,

u4 (x)  3 /(x  1)  (4  x) /(x  1)u3  3(2x 1) /(x 1) .

Shuni ta’kidlaymizki, bu sistemaning yechimini topish uchun uning o‘ng tarafini hisoblashni ta’minlovchi prosedurani yaratishimiz lozim.

Bu sistemani vektor ko‘rinishida quyidagicha yozish mumkin:

Bu yerda


u ' (x)  A(x)u (x) 


f (x) . (34)

u1

0 1

0 0

0


 

0

u2


0 0 1 0  


u (x)  u ,

A(x)  0 0

0 1 ,



f (x)  0 .

3

3

4 x

 


6x  3

 
u

 4 



 x  1 0

x  1 0

 


x  1





Yangi o‘zgaruvchila uchun chegaraviy shartlar quyidagicha yoziladi:



2u1 (0)  u4 0 2,



u1 (0)  2u4 0 1,

u1 (1)  u3 1 3,

u2 (1)  u4 1 2.

Chap chegaraviy shartlardan quyidagilarga ega bo‘lamiz:

(35)
(36)


u1 (0)  0,6, u4 0 0,8.

Endi o‘q otish usulining algoritmini tuzsak bo‘ladi.



    1. Dastlab quyidagi birjinsli bo‘lmagan Koshi masalasi yechiladi:

u ' (x)  A(x)u (x)  f (x) ,

u (0) (0.6, 0.0, 0.0, 0.8) .

Bu masalaning yechimini

u 0 (x)

deb belgilaylik.



    1. Endi quyidagi birjinsli differensial tenglamalar sistemasi uchun ikkita Koshi masalasi yechiladi:

u ' (x)  A(x)u (x) .

u 1 (x)

- vektor-funksiya yoki yechim quyidagi boshlng‘ich shartlarni



qanoatlantiradi:
u (0)  (0.0, 1.0, 0.0, 0.0) .

u 1 (x)

- vektor-funksiya yoki yechim esa quyidagi boshlng‘ich shartlarni



qanoatlantiradi:

u (0) (0.0, 0.0, 1.0, 0.0) .

    1. Quyidagi vektor-funksiyani quramiz:

u (x) u 0(x) p u1 (x) p u 2 (x) .

2 3



Tuzilgan masalaning chiziqlilik shartidan

u (x)

yechim (34)



differensial tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi. x=0 nuqtada quyidagiga ega bo‘lamiz:

u (0)  (0.6,

p2 ,

p3 ,  0.8) ,

ya’ni

u (x)

yechim (35) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.



4. p2 , p3

parametrlarni shunday tanlaymizki,



u (x)

yechim (36)



chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin, ya’ni

u (1)  u
1


(1)  3

u 0 (1) p u 1 (1) p u 2 (1) u 0 (1) p u 1 (1) p u 2 (1) 3 ,



u (1) u (1) 2 u 0 (1) p u 1 (1) p u 2 (1) u 0 (1) p u 1 (1) p u 2 (1) 2 .
3

1

2

1

3

1

3

2

3

3

3


2 4 2 2 2 3 2

4 2 4 3 4



Bu shuni bildiradiki,

p2 , p3

paramatrlar quyidagi chiziqli algebraik



tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lishi zarur.

p u 1 (1)  u 1 (1) p u 2 (1)  u 2 (1) 3  u 0 (1)  u 0 (1) ,
3

1

3

1

3

3

1

2


p u 1 (1) u 1 (1) p u 2 (1) u 2 (1) 2 u 0 (1) u 0 (1) .
4

2

4

2

3

4

2

2

Shuni ta’kidlaymizki, koeffitsiyentlarning qiymatlarini va chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining o‘ng tomonini hisoblash uchun Koshining uchta masalasini yechish talab qilinadi, bunda bu masalalar yechimlarining faqat x=1 chegaradagi qiymatinigina topish talab etiladi



5. p2 , p3

parametrlar hisoblab bo‘lingandan so‘ng quyidagi Koshi



masalasining

u (x, p2 , p3 )

yechimi topiladi:



u ' (x)  A(x)u (x) 




f (x) ,

u (0)  (0.6,

p2 ,

p3 ,  0.8) .

u (x, p2 , p3 )

- vektor-funksiyaning birinchi komponentasi dastlabki



chegaraviy masalaning yechimi.


    1. misol. Quyidagi tenglama bilan berilgan to‘rtinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani yechish uchun o‘q otish (otishmalar) usuli algoritmini tuzing:

(x  1)uIV  (4  x)u ' '3u  6x  3 , x [0,1] .

Chap chegara x = 0 dagi chegaraviy shart quyidagicha berilgan:

2u(0)  3u ' (0)  u ' ' ' (0)  2 ,


u(0) 2u'(0) 3u''(0) 3u ' ' ' (0) 1 ;

O‘ng chegara x = 1 dagi chegaraviy shart quyidagicha berilgan:



u(1)  u ' ' (1)  3,

u ' (1)  u ' ' ' (1)  2 .

Yechish. Bu chegaraviy masalaning oldingisidan farqi shundaki, bunda x = 0 chegaradagi shart umumiyroq qilib berilgan. Xuddi 1- misoldagi kabi yangi o‘zgaruvchilar kiritamiz. Natijada oddiy differensial tenglamalar sistemasi (34) uchun (36) chegaraviy shartlar va quyidagi chegaraviy shartlarga ega bo‘lamiz:

2u1 (0)  3u2 0 u4 0 2,



u1 (0)  2u2 0 3u3 0 3u4 0 1 . (37)

Bu chegaraviy masalaning yechimini quyidagi vektor-funksiya ko‘rinishida izlaymiz:

4
u (x)  u (x)  p u (x)

0 i


,


i

i1

bu yerda pi – hozircha noma’lum parametrlar.



Bu yerdagi yechimi:

u 0 (x)

- quyidagi birjinsli bo‘lmagan Koshi masalasining



u ' (x)  A(x)u (x)  f (x) ,


u i (x)

u (0)  (0.0, 0.0, 0.0, 0.0) .

  • vektor-funksiya ushbu

u ' (x)  A(x)u (x) .

birjinsli oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasi- ning yechim bo‘lib, quyidagi boshlng‘ich shartlarni qanoatlantiradi:

u 1 (0)  (1.0, 0.0, 0.0, 0.0) ,

u 2 (0)  (0.0, 1.0, 0.0, 0.0) ,

u 3 (0)  (0.0, 0.0, 1.0, 0.0) ,

u 4 (0)  (0.0, 0.0, 0.0, 1.0) ,

Masalaning chiziqli ekanligidan

u (x)

yechim yuqoridagi differensial



tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi. pi (i=1,2,3,4) parametrlarning qiymatini shunday tanlaymizki, (36) va (37) chegaraviy shartlar bajarilsin, u holda pi (i=1,2,3,4) parametrlar quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi bo‘ladi:

2 p1  3p2 p4  2 ,



p1  2 p2  3 p3  3 p4  1 ,

4 i i 0 0



pi

i1

u1 (1)  u3 (1)

 3  u1

(1)  u3 (1) ,


4 i i 0 0



pi

i1

u2 (1)  u4 (1)

 2  u2 (1)  u4 (1) .



Bu yerda mos Koshi masalasini yechishdagi uchinchi va to‘rtinchi tenglamalar sistemasidan koeffisiyentlarning qiymatlari ularni sonli yechishdan topiladi.

pi (i=1,2,3,4) parametrlar hisoblab bo‘lingandan so‘ng (34), (36), (37) chegaraviy masalaning yechimi ushbu

u ' (x)  A(x)u (x)  f (x) ,

u (0)  ( p1,

p2 ,

p3 ,

p4 ) .

Koshi masalasining yechimi deb topiladi. Shuni ta’kidlaymizki, algortmlarni yozishda vektor shakldan foydalanildi. Chiziqli tenglamalar sistemasini ShEHMda yechishda A(x) matritsani hisoblash o‘rniga bu sistemaning o‘ng tarafini hisoblash prosedurasini yozish kerak.

    1. misol. Quyidagi tenglama bilan berilgan uchinchi tartibli nochiziqli chegaraviy masalani yechish uchun o‘q otish (otishmalar) usuli algoritmini tuzing:

u'''u''u'u2ex  sin 2x(sin 2x 15)ex , x [0,1] .

Chap chegara x = 0 dagi chegaraviy shart quyidagicha berilgan:



u(0) 2u ' (0) 4 ,

2u'(0)  u''(0)  0 ;

O‘ng chegara x = 1 dagi chegaraviy shart quyidagicha berilgan:



u' (1) u (1) 2.262.

Yechish. Bu chegaraviy masalani yechish uchun quyidagi yangi o‘zgaruvchilarni kiritamiz:

u1(x) u(x) ,

u2 (x) u(x) ,

u3 (x)  u (x) ,

u4(x) u(x) .

Natijada berilgan chegaraviy masalaning o‘rniga quyidagi uchinchi tartibli normal nochiziqli differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan chegaraviy masalaga kelamiz:

u1' u2 ;

u2 ' u3 ;

u ' u2ex u u sin 2x(sin2x 15)ex .

3 1 2 3


Bu sistemani vektor shaklida yozaylik:

u ' F (x,u ) ,

bu yerda


u1 u2

u u



2,

 

F (x)  u3 .


u

u2ex u

  • u  sin 2x(sin 2x 15)ex

3   1 2 3

Yangi o‘zgaruvchilarga nisbatan chegaraviy shartlar quyidagicha yoziladi:


Bu yerda bo‘lamiz:




u2 (0)  p2

u1(0)  2u2 (0)  4 ;

2u2 (0)  u3 (0)  0 ; (38)



u2(1) u 1(1) 2.262. (39)

deb faraz qilib, x = 0 shartdan quyidagiga ega



u1(0) 4 2 p2 ;

u3 (0)  2 p2 .

Endi quyidagi Koshi masalasining

u (x, p2 )

yechimini izlaymiz:



u '  F (x, u ) , (38)

u1(0)  4  2 p2 ;

u2 (0)  p2 ;

u3 (0)  2 p2 .

Hosil qilingan

u (x, p2 )

yechim p2 parametrdan nochiziqli bog‘langan,



shuning uchun uni chiziqli masaladagidek izlab bo‘lmaydi.

u (x, p2 )

vektor-funksiyani chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimi bo‘lishi uchun u quyidagi chegaraviy shartni qanoatlantirishi lozim:

u2 (1)  u 1(1)  2.262.

Shunday qilib, p2 parametrni qiymatini quyidagi nochiziqli tenglamadan topamiz:



f1( p2 )  u2 (1, p2 )  u 1(1, p2 )  2.262  0 .

Bu tenglamaning yechimini sonli usullardan biri yordamida izlaymiz.



f1( p2) ning berilgan p2 dagi qiymatini hisoblash uchun (38) Koshi

masalasining x = 1 dagi yechimi komponentasidan foydalaniladi. p2 ning taqribiy qiymati topilgach (38) masala yana yechiladi va uning birinchi



komponentasining yechimi bo‘ladi.

u (x, p2 )

yechimi berilgan chegaraviy masalaning



    1. misol. Quyidagi to‘rtinchi tartibli nochiziqli chegaraviy masalani yechish uchun o‘q otish (otishmalar) usuli algoritmini tuzing:

uIV  2xu''0.25x2u''0.125ex/ 2uu'  ex/ 2(2.625x2  0.75x  3.125) , x [0,1] .

u(0)  2u ' (0)  0 ,

2u(0)  u'(0)  2.5 ,



u(1)  2u ' ' (1)  18.136,

2u(1)  u ' ' (1)  0.824 .

Yechish. Bu chegaraviy masalani yechish uchun quyidagi yangi o‘zgaruvchilarni kiritamiz:

u1(x) u(x) ,

u2(x) u(x) ,

u3 (x)  u (x) ,

u4(x) u(x) .

Natijada berilgan nochiziqli chegaraviy masalaning o‘rniga quyidagi normal nochiziqli differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan chegaraviy masalaga kelamiz:

u1' u2 ; u2 ' u3 ; u3 '  u4 ;

u ' 0.125ex/ 2u u  0.25x2u  2xu

ex/ 2(2.625x2 0.75x 3.125) . (39)

4 1 2 3 4

Chegaraviy shartlar yangi belgilashlarga nisbatan quyidagicha yoziladi:



u1(0) 2u 2(0) 0 ,

2u1(0) u2(0) 2.5 ,

u1(1) 2u3(1) 18.136 ,

2u1(1)  u 3(1)  0.824 .

x = 0 chegaradagi shartlardan quydagiga ega bo‘lamiz:

u1(0) 1 ,

u2(0) 0.5 .

Endi (39) sistemaning quyidagi boshlang‘ich shartlarni

qanoatlantiruvchi

u (x, p3 , p4 )

yechimini izlaymiz:



u1(0) 1 ,

u2(0) 0.5 ,

u3 (0)  p3 ,

u4(0) p4 . (40)

Hosil bo‘lgan yechim chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimi bo‘ladi, agar u x=1 da p3, p4 larga nisbatan quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemasiga keluvchi chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa:

f1( p3 , p4 )  u1(1, p3 , p4 )  2u 3(1, p3 , p4 ) 18.136  0 ,

f2 ( p3 , p4 )  2u1(1, p3 , p4 )  u 3(1, p3 , p4 )  0.824  0 .

Bu algebraik tenglamalar sistemasining yechimini Nyuton usuli bilan


p

p


izlaymiz. Faraz qilaylik,

0 va

0 boshlang‘ich yaqinlashishlar ma’lum

bo‘lsin. Keyingi yaqinlashishlarni quyidagi tartibda hisoblaymiz:
3

4


pn 1

pn n ,

3 3 3

pn1

pn n ,

4 4 4





bu yerda yechimi:
3

4


n va

n - quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining

f1

( pn, pn )  n





f1

( pn, pn ) n   f ( pn, pn ) ,





p3

p4

1 3 4


f2 ( pn, pn )  n

f2



( pn, pn )  n   f

( pn, pn ) .



p3

3 p 3 4 4


2 3 4


Yakob matritsasining birinchi ustunini hisoblah algoritmini tuzaylik.
p

p


Bunda n=0 da

p3

n va

p4

n deb boshlab, (39)-(40) Koshi masalasini

yechamiz va olingan yechim yordamida quyidagilarni hisoblaymiz:
3

4


f f ( pn, pn)  u (1, pn, pn)  2u (1, pn, pn) 18.136  0 ,

1 1 3 4

1 3 4

3 3 4


f f ( pn, pn)  2u (1, pn, pn)  u

(1, pn, pn)  0.824  0.



2 2 3 4

1 3 4

3 3 4


Endi

p pn h

va p

pn

deb olib, (39)-(40) masalani yana bir bor



3 3 3 4 4

yechamiz va quyidagilarni hisoblaymiz:



~ n n n n n n

f1 f1( p3 h3 , p4 )  u1(1, p3 h3 , p4 )  2u 3(1, p3 h3 , p4 ) 18.136  0 ,

~ n n

n n n n

f2

f2 ( p3

h3 , p4 )  2u1(1, p3

h3 , p4 )  u 3(1, p3

h3 , p4 )  0.824  0 .



Endi quyidagilarni yozamiz:

f ~ ~n f

~ ~n



1 ( pn, pn) f1 f1 , 2 ( pn, pn )  f2



f2 .

p3 h3 p3 h3
p


Agar  - hisob aniqligi va
3

p


0  1

bo‘lsa, u holda



h3

deb olamiz,



aksincha, agar

0  1

bo‘lsa, u holda



h3

  • p0

deb olamiz. Yakob

matritsasining ikkinchi ustunini hisoblash ham xuddi shu kabi bajariladi.
3

3

Shulardan keyin p3 va p4 taqribiy qiymatlar topilgach, (39)-(40)



masala yechiladi va uning yechimining

u (x, p3 , p4 )

- birinchi



komponentasi dastlabki chegaraviy masalaning yechimi bo‘ladi.


    1. misol. Quyidagi tenglamasi chiziqli, ammo chegaraviy shartlari nochiziqli bo‘lgan to‘rtinchi tartibli nochiziqli chegaraviy masalani yechish uchun o‘q otish (otishmalar) usuli algoritmini tuzing:

uIV  4x2u''28xu'32u  4ex2 (4x2  5) , x [0,1] .

2u(0) u ' (0) u'''(0) 2 ,

u(0) 2u'(0) u''(0) 3u'''(0) 1,

u2(1)  u ''(1)  3 ,

u'(1) u '''(1)3 2 .

Yechish. Bu chegaraviy masalani yechish uchun quyidagi yangi o‘zgaruvchilarni kiritamiz:

u1(x) u(x) ,

u2 (x) u(x) ,

u3 (x)  u (x) ,

u4(x) u(x) .

Natijada berilgan nochiziqli chegaraviy masalaning o‘rniga quyidagi normal nochiziqli to‘rtinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan chegaraviy masalaga kelamiz:

u ' u ; u ' u ; u ' u ; u '  32u  28xu  4x2u

 4ex2 (4x2  5) , (41)



1 2 2 3 3 4 4 1 2 3

uning chegarayiy shartlari quyidagicha:



2u1(0) u2(0) u4(0) 2 ,

u1(0)  2u2 (0)  u3 (0)  3u4 (0)  1, (42)

u2 (1)  u
1


3(1)  3,

u (1)  u3(1)  2 . (43)

Bu yerda chiziqli tenglamaning chegaraviy shartlari nochiziqli bo‘lganligi uchun unga o‘q otish (otishmalar) usulini algoritmini qo‘llab bo‘lmaydi. Shuning uchun x = 0 chegaradagi ikkita shartshartdan u vektorning ikkita komponentasini uning qolganlari orqali ifodalab olamiz.
4

2


Bu yerda

u1 p1 va

u3 p3

deb olish qulay, u holda u2 va u4 larni hisoblash



uchun quyidagi ikkita chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

u (0) 

p1  7 ,


2u1

u2



  • u4

 2,

2 p1



u2



  • u4

 2, 2

2(3 p1 p3 )


u  2u u  3u

 1,

2u p  3u p  1,

p p2  2 p


 1 2 3 4

 2 3 4 1



u (0)  1 1 3 .

4

3 p1



  • p3

Ushbu

u (x, p1, p3 )

  • quyidagi Koshi masalasining yechimi:

u ' A(x)u


f (x) , (44)

p  7 p p2  2 p


u (0)  p1, 1 ,

p3 , 1 1 3 .

2(3 p1 p3 ) 3 p1 p3

Bu masalaning yechimi x = 0 dagi chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi lozim. Endi x = 1 dagi shartlarning bajarilishi uchun p1 va p3 parametrlar quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lishi lozim:



f ( p , p )  u2(1, p , p )  u (1, p , p )  3  0 ,

1 1 3

1 1 3

3 1 3


f ( p , p )  u (1, p , p )  u 3(1, p , p )  2  0 .

2 1 3

2 1 3

4 1 3


Bu tenglamalar sistemasining yechimini, xuddi 4-misolda keltirilgan algoritm kabi, Nyuton usuli bilan topamiz.

Bu misolda ham p1 va p3 taqribiy qiymatlar topilgach, (44) masala



yechiladi va uning yechimining

u (x, p1, p3 )

- birinchi komponentasi



dastlabki chegaraviy masalaning yechimi bo‘ladi.


    1. misol. Quyidagi funksionalni hisoblash algoritmini tuzing:

1

I (u x2u' xu'')dx ,

0

bu yerda u(x) – quyidagi chegaraviy masalaning yechimi:



uIVxu'''4x3u'12u  2xex2 (26x2  36x  21) , x[0;1],

u''(0)  4 ,

u'''(0)  6 ,

u(1)  3e ,

u' (1)  7e .

Yechish. Otishmalar usuli yordamida shunday p1 va p2 qiymatlar hisoblanadiki, quyidagi Koshi masalasining yechimi berilgan chegaraviy masalaning yechimi bo‘lsin:

uIVxu'''4x3u'12u  2xex2 (26x2  36x  21) ,

u(0) p1 ,

u'(0) p2 ,

u''(0)  4 ,

u'''(0) 6 .

Izlanayotgan p1 va p2 qiymatlar topilgandan keyin funksionalning qiymati quyidagi Koshi masalasining yechimi yordamida hisoblanadi:

uIV xu'''4x3u'12u 2xex2 (26x2 36x 21) , x[0;1],

'  u x2u'xu'',

u(0) p1 , Haqiqatan ham,

u'(0)  p2 ,

I (1) .

u''(0)  4 ,

u' ' ' (0)  6 ,

(0) 0 .




Download 0,64 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   14




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish