O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligiajiniyoz nomidagi nukus davlat pedagogika instituti ellikqal’a pedagogika fakulteti

2-§. Logarifmik tenglamalar

Maktab matematika kursida logarifmik tenglamaga ta’rif berib, so‘ngra uni yechish usullari ko‘rsatiladi.

Ta`rif. Noma’lum miqdor logarifm belgisi ostida qatnashgan tenglamalar logarifmik tenglamalar deyiladi.

Masalan, lgx=3-lg5, lgx=lg2, 2lglg(15-2x) va hokazo. Logarifmik tenglama ham ko‘rsatkichli tenglama singari transsendent tenglama turiga kiradi. Log_ax=b tenglama eng sodda logarifmik englamadir. Bu yerda a, b lar ma’ lum sonlar, x noma’ lum sondir. Bu ko‘rinishdagi tenglama x=a^b bitta yechimga ega bo'ladi. Logarifmik tenglamaning yechish jarayonida o`qituvchi o‘quvchilarga logarifmik funksiya va uning xossalari haqidagi ma’lumotlarni takrorlab berish lozim. Ayniqsa, o‘qituychi ko‘paytmaning lg(ab)=lga+lgb, kasrning lg=lga-lgb va darajaning lg a<sup>n</sup>=nlg a logarifmlari hamda logarifmlarning bir asosidan boshqa asosiga o‘tishlog<sub>a</sub>b= formulasi va qoidalarini imkoniyat boricha isboti bilan tushuntirib berishi maqsadga muvofiqdir, chunki logarifinik tenglamalarni yechish jarayonida ana shu qoidalardan foydalaniladi. Logarifmik tenglamalami yechish jarayonida ko`pincha lgA=lgB bo`lsa, A=B bo`ladi degan qoidaga amal qilamiz. Ayrim hollarda 0‘quvchilar IgA +lgB -lgC tenglikdan ham A + B –C bo`ladi degan noto`g‘ri xulosaga keladilar. Mana shunday xatoliklarni oldini olish uchun o`qituvchi yuqoridagi tengliklarni

aniq misollar yordamida ko`rsatib berishi lozim.

Masalan. l5+lg9=lg45. Bu tenglikdan yuqoridagi xato mulohazaga ko‘ra

5+9=45 bo`lishi kerak, bunda 14≠45. Bundan ko‘rinadiki, lg A +lg B =lg C dan A + B = C deb yozish katta xatolikka olib kelar ekan. Demak, lgA +lgB=lgC bo`lsa, ikki son ko‘paytmasining logarifmi qoidasiga ko‘ra lg(AB)=lgC, bo`ladi, bundan A B =C ekanligi ko‘rsatish kifoya. lg5+lg9=lg45, lg(5 9)=lg45. 45=45. log_af(x)=log_ag(x) tenglamani yechish uchun f(x )= g (x ) tenglamani yechish kerak va topilgan yechimlar ichidan f( х)>0, g(x)>0

tengsizliklami qanoatlantiradiganlarini tanlab olinadi. f(x)=g(x) tenglamaning qolgan ildizlari esa log_af(x) =log_ag(x) tenglama uchun chet ildiz bo`ladi. Har qanday logarifmik tenglama ayniy almashtirishlar yordamida uni log<sub>a</sub>f(x) =log<sub>a</sub>g (x ) ko‘rinishga keltirib, f (x )=g(x ) tenglamani yechish orqali va yangi o`zgaruvchi kiritish orqali yechiladi. Logarifmik tenglamalarni yechishni uning aniqlanish sohasini topishdan boshlash lozim.

1 - misol.

Log_ax=btenglama yechilsin.

Yechish.

Agar a>0 va а≠1 bo'lsa, x= a^b bo`ladi.

2 – misol

tenglama yechilsin.

Yechish.

lg2x ning aniqlanish sohasi x>0 bo‘Iadi. lg(4x-15) ning aniqlanish sohasi 4x-15>0, bundan x> bo`ladi. Bundan tashqari 4x-15≠0 yoki x≠4 bo`lishi kerak, bularga asoslanib tenglamaning aniqlanish sohasi x>3 va x≠ 4 bo'ladi.

Tenglamani yechish uchun quyidagicha ayniy almashtirish bajaramiz:

lg2x=21g(4x-15), lg2x=lg(4x-15)2x=16x²- 120x+225 yoki 16x² -122x+225=0, bundan x₁= yechim tenglamaning aniqlanish sohasida yotadi, shuning uchun x₁= 4 yechim bo‘ladi.

3 - m i s о 1.

Log₂(lgx+2+1)-log₂(+1)=1 tenglama yechilsin.

Yechish.

Bu tenglamadagi o‘zgaruvchining qabul qiladigan qiymatlari sohasi x≥l bo`ladi. Berilgan tenglamani potensirlasak, yoki

=1 bundan x = 10.

Javob: x=10

4 - m i s о l.

= 100 tenglamani yeching.

Yechish.

Bu tenglamadagi nomalumning qabul qiladigan qiymatlar sohasi x>0 dir. Tenglikning har ikkala tomonini 10 asosga ko‘ra logarifmlaymiz:

lgx

Agar lgx=t desak, lg100=2 bo`ladi. U holda (1 +t)t=2 yoki

t²+t-2=0, bundan t₁=1, t₂=-2. lgx=1, bundan x₁ =10, lgx=-2,

bundan x₂=

Javob.x₁ = 10, x₂=10^-2

5-misol.

lgtenglama yechilsin

Yechish.

Bu tenglamaning aniqlanish sohasi 5x-4>0 va x+1 >0 bo‘lishi kerak, bundan x > bo’ladi. Tenglamani potensirlasak: yoki . Bunda 5x²+x-328=0, bundan x₁=─va x₂ =8,x₁ bo’lgani uchun yechim bo’lolmaydi.

Javob. x=8.

6-misol

lgx tenglamani yeching.

Yechish.

Bu tenglamaning aniqlanish sohasi x>0. Agar lgx=y desak,y²=y²+3y-4=0, bundan y₁=1 va y₂=-4 bo’ladi,u holda lgx=1 yoki x= 10, lgx=-4 yoki x=10^-4

J a v о b. x₁=10, x₂=10^-4

7-m i s о I.

log₅x+ log_x5 = 2,5

Yechish.

Tenglamaning aniqlanish sohasi x>0 va х≠1.Bu tenglamada logarifm asoslarini bir xilga keltirish kerak. Buning uchun log_ab= formuladan foydalanamiz: log_x5+(log ₅x)^-1=2,5, agar log₅=y desak,

y+y^-1=2,5 yoki y²-2,5y+1=0. Uni yechsak,y₁ =2 va y₂ =2^-1 . Bularga ko’ra log₅x=2 bunda x=25 va log₅x=2^-1~ , bundan x = .

Javob: x₁ = 25, x₂=