O‟zbekiston respublikasi oliy va o‟rta maxsus ta'lim vazirligi

 

5.2. O‟zaro perpendikulyar tekisliklar 

 

Ikkita tekislik o‘zaro perpendikulyar bo‘ladi: 

- 

agar  ulardan  biri  boshqa  tekislikka  perpendikulyar  orqali  o‘tsa  (5.6 

shakl). 

- 

agar  ulardan  biri  boshqa  tekislikka  tegishli  to‘g‘ri  chiziqqa 

perpendikulyar bo‘lsa (5.7 shakl).  

Boshqacha  aytganda,  bitta  tekislikka  tegishli  to‘g‘ri  chiziqqa  va  bir  vaqtda 

boshqa  tekislikka  perpendikulyar  o‘tkazish  imkoniyati  bo‘lsa  bunday  tekisliklar 

o‘zaro perpendikulyar bo‘ladi. 

Birinchi vaziyatda (5.6 shaklga qarang) R tekislik R tekislikka perpendikulyar, 

ya‘ni R tekislikka perpendikulyar AM kesma orqali o‘tadi. 

5.7  shaklda  R  tekislik  R  tekislikka  perpendikulyar,  ya‘ni  R  tekislikka  tegishli 

AV kesmaga perpendikulyar bo‘lib o‘tadi. 

CHizmada o‘zaro perpendikulyar tekisliklar qurishni ko‘rib chiqaylik. Berilgan 

AVS  (A

1

V

1

S

1

,  A

2

V

2

S

2

)  tekislikka  DE  (D

1

E

1

,  D

2

E

2

)  kesma  orqali  perpendikulyar 

tekislik  o‘tkazish  talab  etilsin.  Masala  DE  kesmaning  D  nuqtasidan  AVS 

uchburchakka  perpendikulyar  to‘g‘ri  chiziq  o‘tkazilsa  masala  yechilgan hisoblanadi 

(5.8  shakl).  Buning  uchun  AVS  uchburchakka  gorizontal  va  frontal  o‘tkazamiz. 

---

Keyin  D

1 

nuqta  orqali  h

1 

gorizontalning  gorizontal  proektsiyasiga  D

1

K

1 

perpendikulyar,  D

2 

nuqtadan  esa  f

2

  frontalning  frontal  proektsiyasiga  D

2

K

2 

perpendikulyar  o‘tkaziladi.  SHunday  qilib,ikkita  kesishgan  (KD  ∩  DE)  to‘g‘ri 

chiziqlar bilan berilgan tekislik AVS uchburchakka perpendikulyar bo‘ladi. 

Ikkinchi vaziyatni qo‘rib chiqaylik. D nuqta orqali  

AVS 

uchburchakni   

AS tomoniga perpendikulyar tekislik o‘tkazish talab etilsin (5.9 shakl). 

 

 

5.6 shakl                                             5.7 shakl 

 

 

 

 

5.8 shakl                                             5.9 shakl 

 

Boshqacha qilib aytganda, D nuqta orqali o‘tuvchi yangi tekislikka AS tomoni 

perpendikulyar  bo‘lishi  uchun  A

1

S

1   

gorizontalning  h

1 

gorizontal  proektsiyasiga 

perpendikulyar,  A

2

S

2 

esa  (h  ∩  f)  yangi  tekislikning  f

2

    frontalining  frontal 

proektsiyasiga  perpendikulyar  bo‘lishi  shart.  SHuning  uchun  D

1

  nuqtadan  h

1 

ni 

(h

2

//OX) A

1

S

1 

tomonga, D

2 

nuqtadan esa f

2 

ni  (f

1 

//OX) A

2

S

2 

 tomonga

 

perpendikulyar 

---

qilib o‘tkaziladi. 

Keltirilgan  misollar  (5.10 va 5.11 shakllar)da uchburchak  AVS  va izlari bilan 

berilgan tekisliklarning o‘zaro perpendikulyarligi keltirilgan. 

 

 

5.10 shakl                                             5.11 shakl 

 

R  tekislik AVS uchburchak tekisligiga perpendikulyar (5.10 shaklga qarang). 

U  AVS  uchburchak  tekisligida  yotuvchi  m  to‘g‘ri  chiziqqa  perpendikulyar 

o‘tgan,(R

1┴

m

1

  i R

2┴

m

2

). 

R tekislik AVS uchburchak tekislikka perpendikulyar, u gorizontal h(h

1

, h

2

)ga 

perpendikulyar, ya‘ni R

1

 

┴

 h

1

, a R

2

 

┴

 h

2 

(5.11 shaklga qarang). SHu bilan bir vaqtda u 

gorizontal proektsiyalar tekisligiga perpendikulyar, ya‘ni gorizontal proektsiyalovchi 

tekislik bo‘lib ham hisoblanadi. 

Umumiy  vaziyatdagi  R  tekislikning  gorizontal  izlari  va  R  gorizontal 

proektsiyalovchi  tekisliklarning  o‘zaro  perpendikulyarligi  shu  tekisliklarning  o‘zaro 

perpendikulyar ekanligini ta‘kidlash lozim (5.12 shakl). 

Buni isboti juda oddiy, agar R tekislikka tegishli to‘g‘ri chiziqni R tekislikka 

perpendikulyar  qilib  o‘tkazishga  urinib  ko‘raylik.  Bunday  to‘g‘ri  chiziq  gorizontal 

hisoblanadi, tekislikning R

2

 (h

1

 

┴

 R

1

 i h

2

 

┴

 R

2

) izlarida olingan N (N

1

, N

2

) nuqtadan 

o‘tkazilgan. 

Umumiy  vaziyatdagi  tekislikning  frontal  izlari  va  frontal  proektsiyalovchi 

tekislikning  perpendikulyarligi  shu  tekisliklarning  perpendikulyar  ekanligiga  asos 

bo‘ladi. 

Biroq  ikkita  umumiy  vaziyatdagi  tekislikning  bir  nomli  izlari  o‘zaro 

perpendikulyar  bo‘lsa,  bu  tekisliklar  o‘zaro  perpendikulyar  (5.13  shakl)  emas,  bu 

vaziyatda  tekisliklarning  perpendikulyarlik  sharti  buzilgan.  Bitta  tekislikka  tegishli 

chiziqni  o‘tkazish  mumkin  emas.  Agar  T  tekislikda  to‘g‘ri  chiziqni  gorizontal 

proektsiyasi  va  uni  tekislik  Q

1 

iziga  perpendikulyar  o‘tkazilsa,  bu  gorizontalning 

---

gorizontal proektsiyasi bo‘ladi, frontal proektsiyasi esa X o‘qiga parallel, ya‘ni  Q

2 

ga 

paralllel emas. 

 

 

5.12 shakl                                             5.13 shakl