O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta‘lim vazirligi

S= ¹ AB ∙h= ¹ ∙ 14 ∙ 12 = 84 (kv. birlik). )

2 2

Yer uchastkalarini o’lchashga doir masalani Xorazmiy shunday hal etadi:

«Agar aytsalarki, uchburchakli yer uchastkasining ikki tomoni o’n gazdan va asosi 12 gaz, uning ichida kvadrat shaklida yer uchastkasi ajratish kerak. Kvadratning har bir tomoni aniqlansin. Buning qoidasi shunday: uchburchak balandligini aniqla, ya’ni uning asosi yarmini ol, bu 6, uni o’z-o’ziga ko’paytir, bu 36, uchburchak qisqa tomonlarining birini o’z-o’ziga ko’paytmasidan, ya’ni yuzdan ayir, bu 64 bo’ladi, bundan ildiz chiqar, 8 bo’ladi. Bu balandlik. Uchburchak yuzini topish uchun balandlikni asosning yarmiga, ya’ni 6 ga ko’paytir, bu 48 bo’ladi. Kvadratning bir tomonini narsa deb qabul qilamiz, uni o’z-o’ziga ko’paytiramiz, kvadrat hosil bo’ladi, buni esda saqlaymiz. So’ngra, bilamizki, bunda kvadratning tomonlarida ikki uchburchak va uning ustida bir uchburchak qoladi. Kvadrat tomonlarida joylashgan uchburchaklar teng bo’ladi,

chunkn ularning balandliklari teng va ular to’g’ri burchakli uchburchaklardir. Ularning yuzlari shundayki, oltidak narsaning yarmini ayirib, narsaga ko’paytirgin, kvadratning yarmi ayirilgan olti narsa hosil bo’ladi, bu kvadratning tomonlarida joylashgan uchburchaklarning umumiy yuzi bo’ladi. Yuqoridagi uchburchak yuziga kelganda, sakkizdan narsani, ya’ni balandlikni ayirib, narsaning yarmiga ko’paytir, kvadratning yarmi ayirilgan to’rt narsa hosil bo’ladi. Bularning hammasini, ya’ni kvadrat yuzi va uchta uchburchak yuzlarini qo’shamiz. Hosil bo’ladi: 89 narsa 48 ga teng, bu esa katta uchburchak yuzi bo’ladi. Shuning uchun bitta narsa to’rt va beshdan to’rt gazga teng. Kvadratning xamma tomonlari shunday bo’ladi. Mana uning shakli (8-shakl). )

Bu masala teng yonli uchburchakka ichki chizilgan kvadrat tomonini aniqlashdan iborat bo’lib, uning yuqorida bayon etilgan yechish usulini quyidagicha ifodalash mumkin: ABC uchrurchakda AB – 12, AB = CB = 10.

Balandlik h=CF= ^{   8} .

Katta uchburchakning yuzi Q = yonidagi uchburchaklar

¹ 12  8  48 . Kvadratning yuzi x², ikki

2

yuzalari

¹  _ ^x  _{ }



• 
  ^x2 bo’ladi. Yuqorida joylashgan kichik
  

_6 _ x 3x


2

2
  ⁴

uchburchakning yuzi

1. 
   8  x x  4x  ¹ x² . Demak, uchburchakning yuzi uning
   

2 2

ichida hosil bo’lgan to’rtta shakl yuzlarining yig’indisiga teng:

 ^3x 	x ^2 ^	 ^ ^x2 ^ ^ ^1^2^ ^^3^x^ ^4^x x
	 4		4		2	

2

48= ^{ x}

 

bundan 48 = 10x, x =

48 _{ 4} 4

(kvadratning tomoni).

10 5

Yunon geometri Geron bu masalani, ya’ni teng yonli uchburchakka ichki chizilgan kvadrat tomonini uchburchaklarning o’xshashligidan foydalanib, bunday yechgan (8-shakl): AB = 12, VS = 10, u vaqtda balandlik CF= = 8; bunda MCN va ABC uchburchaklarining o’xshashligidan:

^x  ^{8  x ;bundan}

12 8

_{x } 8 12

8 12

_ 96

20

 4 ⁴

5

Xorazmiy aylana va doirani o’lchash haqida yozadi: Har bir doira shundayki, agar uning diametrini uch va yettidan birga ko’paytirsak, uni chegaralagan aylananing uzunligi hosil bo’ladi. Ya`ni aylana uzunligi

L va diametri d bo’lsa: L = 3 ¹ d .

7

Bundan tashqari, Xorazmiy aylana uzunligini yana nkki xil topish

mumkinligini yozadi: L =

10d

_{va L=} 32832

20000
 d ^{. Demak, Xorazmiy π soni uchun}

uch xil qiymatni π =

≈ 3 , 16227 , π=3 ¹ ≈ 3,1428, π =

7

³²⁸³² ≈ 3,1416

20000

oladi va ularning taqribiy ekanligini uqdiradi. Bunda π = 3 ¹ qiymat Arximed

7

asarlarida, π =

hind matematigi Braxmagupta (VII asr) va π= ³²⁸³² hIND

20000

matematigi Ariabxatta (V asr) asarida uchraydi.

Har bir doira shundayki, deb yozadi Xorazmiy, uning diametrining yarmi

bilan aylanasi uzunligi ko’paytmasining yarmi uning yuzini beradi, ya’ni S =

d _ L _.

2 2

Doira yuzini topish uchun Xorazmiy quyidagi ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lgan qoidani keltiradi:

S = d^2– 1 d²– ¹  ¹  d ²  ¹¹ d <sup>2

7</sup> 2 7 14

Xorazmiy doira segmentining yuzini topish uchun ham qoidalar beradi.

Bu qoidalarni shunday ifodalash

mumkin: agar segment yuzi G, yoyi Q, vatari uzunligi a, diametri d,

segment balandligi h deb belgilansa, yarim doiradan kichik segment uchun:

G= ^d  ^Q  ^{ d}  h ^  ^a


va yarim doiradan katta segment uchun:

2

2
 

2 2 _{ }





2
G= ^d  ^Q  ^{ d}  h ^  ^Q bo’ladi, bunda d = ^Q  h

shaklida aniqlanadi.

2 2 _ 2 _ 2 4h

Al-Xorazmiyning arifmetika va algebraga oid ilmiy tadqiqotlari ham bizgacha yetib kelgan va ular tarixchi olimlar tomonidan o’rganilib hozirgi adabiyotlarda o’z aksini topgan.

Yuqorida nomlari qayd etilgan O’rta Osiyolik mashhur olimlarning ham matematika faniga qo’shgan hissalari ilmiy meros sifatida o’rganilgan. Ulardan foydalanib kelajak avlodni yetuk inson qilib yetishtirish bizning asosiy maqsadlarimizdan biri bo’lib qoladi.

2.