O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta‘lim vazirligi

Tarixiy masalalar. 1-masala. Ikki kishi bir vaqtning o’zida doira shaklidagi qo’l qirg’og’ich bo’ylab qarama-qarshi yo’nalishlarda yurishni boshladilar. Birinchisi har kuni 10 mil, ikkinchisi esa bir kunda 1 mil ko’proq yurdi, va har keyingi kuni 1

mil ko’proq yurdi. Ular uchrashganda birinchisi aylananing

¹ qismini, ikkinchisi

6

yesa

⁵ qismini yurganligi ma’lum bo’ldi. Qo’l aylanasi uzunligi qancha va

6

yo’lovchilar yo’lida nechta kun bo’lishgan?

Yechish. Kunlar sonini x deb olsak, u holda birinchi yo’lovchining

yurgan yo’li 10 x ga, ikkinchisiniki yesa

(х 1)х

2
ga teng bo’ladi. Ikkinchisi ko’l

qirg’og’ining

⁵ qismini bosib o’tganligi uchun

6

(х  1)х

2
 5 10 х,

х² _ х

2 2

 50 х,

_х2 

2

49 ¹ х,

2

х  99.

1

Birinchi yo’lovchi 99x10=990 mil bosib o’tgan, bu qirg’oq uzunligining ₆ qismidan iborat. Bundan aylana uzunligi 5940 milga teng ekanligi kelib chiqadi. Ikkinchi yo’lovchi esa, 5940-990=4950 mil bosib o’tgan.

Matematika o’qituvchisi dars vaqtida, shu dars mavzusiga bog’liq bo’lgan matematika tushunchalarining paydo bo’lishi, ularning rivojlanib borishi va bu sohada O’rta Osiyolik matematik olimlarning xizmatlarini, ular olib borgan ishlar haqida ma’lumotlar berishi lozim.

Darsdan tashqari mashg’ulotlarda, masalan, matematika to’garaklarida O’rta Osiyolik olimlarning ijodlaridan keng foydalanish mumkin. Matematik gazetalar tashkil etib, ularni qiziqarli matematik mavzularga yoki mashhur olimlarning hayoti va ijodlariga bag’ishlash mumkin. Mashhur matematik olimlarning tavallud topgan kunlariga bag’ishlab o’tkaziladigan kechalar esa juda katta tarbiyaviy ahamiyatga ega.

Boshlang’ich sinf matematika kursida bolalar masalalarni arifmetik usullar bilan yechishni o’rganib olganlaridan so’ng algebraik usulda ham masalalarni yechishni o’rganishlari muhim ahamiyatga ega. Bu ishni muvafaqiyatli amalga oshirish uchun ular masaladagi berilgan va izlanayotgan miqdorlarni ajratib olish, undan o’zaro teng bo’lgan ikkita asosiy miqdorni ajrata olish yoki undan bitta miqdorning o’zaro teng ikkita qiymatini ajrata olish va bu qiymatlarni har xil ifodalar bilan yoza olish malakalariga ega bo’lishlari kerak. Bunda al-Xorazmiy tadqiqiotlari natijalaridan foydalanish katta samara beradi.

Tenglamalar tuzish yordamida sodda masalalar yechish 2-chi sinfdan boshlanadi. 2-chi sinfda tenglamalar tuzish usuli bilan qo’shish, ayrish, ko’paytirish va bo’lish amallarining noma’lum komponentlarini topishga doir sodda masalalar yechiladi. Bunday masalalar o’quvchilarning fikrlash qobiliyatini o’stiradi.

Masalan, bunday masala taklif qilinadi:

Tarelkada 15 ta konfet bor edi. Nonushtada bir nechta konfet yeyildi.

Shundan keyin 6 ta konfet qoldi. Nechta konfet yeyilgan?

Bor edi–15 ta konfet Qoldi–6 ta konfet Yeyildi–?

Masalani yechish uchun o’quvchi quyidagicha mulohaza qilish kerak. Nonushtada yeyilgan konfetlar sonini x bilan belgilayman. 15 ta konfet bor edi x ta konfet yeyildi, 6 ta konfet qoldi. Bunda quyidagi tenglamani yozishim mumkin.

15–x=6

Bu tenglamani yechish qoidasi o’quvchiga oldindan ma’lum bo’lgani uchun yeyilgan konfetlar soni x quyidagicha topiladi: x=15–6, x=9

Ko’paytirish va bo’lish amallarining noma’lum komponentlarini topishga keltiriladigan masalalar asosan abstrakt shaklda beriladi. Masalan, o’ylangan sonni 3 ga ko’paytirib, 18 hosil qilindi. Qanday son o’ylangan?

Bunda o’quvchi mustaqil ravishda 3∙x=18 tenglamani tuzadi. Uni yechib o’ylangan son x topiladi x=18:3, x=6

Uchinchi sinfda noma’lum komponentlarni topishga doir soda masalalarni yechish malakasi mustahkamlanadi. Bunda o’quvchilarni masalani mustaqil yechishga o’rgatib boriladi. Shunday masalalardan namunalar keltiramiz:

Masala: O’ylangan son 20 dan 15 ta ortiq. O’ylangan sonni toping. Yechish: masalani sxematk tasvirlash foydali

20 15
x

O’quvchilar chizmaga suyanib tenglama tuzishni taxminan bunday tushunadilar:

1. 
   x–20=15 Masala shartida noma’lum son bilan 20 orasidagi ayirma 15 ga teng. Bu tenglamani yechib o’quvchilar x=20+1, x=35 ni topadilar.
   
2. 
   Masala shartidan boshqa tenglama ham tuzish mumkin: Noma’lum
   

son 20 dan 15 ta ortiq bo’lgani uchun x–15=20 deb yozish mumkin. Bunda uni 15 ta kamaytirib 20 ni hosil qilinadi.

3. 
   Agar 20 soni noma’lum sondan 15 ta kam ekanligini nazarga olsak, uni 20 ta orttirib noma’lum songa teng bo’lgan yig’indini topamiz: x=20+15
   

O’quvchilardan bitta masala shartiga ko’ra turli tenglamalar tuzishni talab qilish shart emas. Lekin tenglama qanday tuzilganligini tekshrishda mumkin bo’lgan barcha variantlarni qarash maqsadga muvofiq.

Masala. O’ylangan son 14 dan 2 marta katta. Qanday son o’ylangan?

Yechish. Bunda ham chizmaga murojat qilish foydali

X 15

chizma tenglamalar tuzishni tushuntirishga yordam beradi x:2=14 yoki x:14=2 Yechim:x=14∙2 ya’ni x=28

Boshlang’ich matematika kursida tenglama tuzish usuli yordamida masalalar yechishda yangi pedagogik texnologiyalarni qo’llash al-Xorazmiyning tenglamalarga oid ishlaridan foydalanilsa dars samaradorligi oshadi va o’quvchilar matematika faniga qiziqish uyg’onadi. Shu bilan ularda ijodiy fikrlash, mantiqiy xulosalar chiqara olish qobiliyatlari rivojlanadi. Chunki darsliklarda berilgan masalalar hayotiy bo’lib o’quvchilarni atrof-muhitdagi hodisa va voqyealarni anglab olishlariga katta yordam beradi. Masalalarni har xil o’yinlarga bog’lab ulug’ ajdodlarimiz merosidan namunalar keltirish o’quvchilarning darsda charchab qolishlarining oldini oladi va masala mohiyatini tez anglab olish ko’nikmalarini shakllantiradi va mustaqillikka o’rgatadi.

Demak, matematika darslarini shug’ullantiruvchi qiziq nostandart shakllarda tashkil qilish uning samaradorligini oshiradi.

Masalalarni turli usullar bilan yechishga doir namunalar keltiramiz.

Quyidagi masalalar shular jumlasiga kiradi.

Masala: Izlanuvchi o’ylagan sonning raqamlari yig’indisi shunday ikki xonali songa tengki, bunda o’nlar xonasida joylashgan sondan 4 marta kichik. O’ylangan ikki xonali sonni toping.

Yechish: 1 – usul.

Shunday ikki xonali bir xonali sonlar juftini yozamizki bunda masalaning ikkinchi shartini qanoatlantiruvchi sonlarning biri ikkinchidan 4 marta kichik bo’lsin: 1 va 4, 2 va 8. Bu tanlangan juftlardan masalaning birinchi shartini qanoatlantiradiganlarini olamiz. Bu sonlar 2 va 8 bo’ladi, chunki 2+8=10 ikki xonali, 1+4=5 esa bir xonalidir. Demak, masalaning yechimi 28 dan iborat.

2 – usul.

Masala shartini chizma yordamida tasvirlaymiz

x

Faraz qilaylik x soni o’nlik xonasidagi son bo’lsin, u holda 4 x birliklar xonasida turuvchi son bo’ladi, eng kichik ikki xonali son 10 bo’ladi.

Quyidagi tenglamani tuzamiz:

x+4x=10, 5x=10, x=2 u holda 4∙2=8 bo’ladi. Demak, 28 soni masala shartini qanoatlantiradi. 3 – usul.

Masala shartiga ko’ra izlangan sonning raqamlar yig’indisi 5 ga bo’linishi kerak. Bunday sonlar 2 ta: 10 va 15 lardan iborat.

1–holda 10:2; 4∙2=8 bo’lib 28 ni topamiz

2–holda 15:5=3, 4∙3=12 bo’lib bu holda ikki xonali son hosil bo’lmaydi. Shunday qilib o’ylangan son 28 ga teng.

Masala: 12 yashik xurmo va 14 yashik o’rik 692 kg bo’ldi. Bunda bir yashik o’rikning og’irligi bir yashik xurmoning og’irligidan 10 kg kam. 1 yashik xurmo va 1 yashik o’rik og’irligi qancha?

Yechish: 1 – usul

1. 
   yashik xurmo og’irligi x kg, 1 yashik o’rik og’irligi y kg bo’lsin. Masala shartiga ko’ra Ushbu tenglamani tuzish mumkin.
   

x= y+10 chunki o’rikning og’irligi (y) xurmo og’irligi (x) dan 10 kg kam.

Masalaning birinchi shartiga ko’ra 12x +14y=692 tenglamani tuzish mumkin. Bunda x o’rniga y+10 keltirib qo’ysak.

12 (y+10) +14y =692

26 y+120=692

26 y=572

y=22 kg (1yashik o’rik og’irligi)

Bu holda 1 yashik xurmoning og’irligi 22+10=32 kg bo’ladi Javob: 1 yashik xurmoning og’irligi 32 kg

1 yashik o’rikning og’irligi 22 kg

2. 
   – usul
   

1. 
   14 yashik o’rik 14 yashik xurmodan 10∙14=140 kg kam
   
2. 
   Agar hamma yashiklarda xurmo bo’lganda edi 692+140=832kg xurmo bo’lar edi.
   
3. 
   12+14=26 yashiklar bor
   
4. 
   832:26=32 kg 1 yashik xurmoning og’irligi
   
5. 
   32–10=22kg 1 yashik o’rikning og’irligi 3 – usul
   

1. 
   12 yashik xurmo 12 yashik o’rikdan 10∙12=120kg ko’p
   
2. 
   Agar xurmo yashiklarda o’rik bo’lganda edi 692–120=572kg o’rik bo’lar
   

edi.

3. 
   12+14=26 ta yashiklar bor
   
4. 
   572:26=22 kg 1 yashik o’rikning og’irligi
   
5. 
   22+10=32kg 1 yashik xurmoning og’irligi
   

2.