O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta‘lim vazirligi

§. Al-Xorazmiy tomonidan yuza tushunchasining rivojlantirilishi va ba’zi bir geometrik figuralarning yuzlarini hisoblash haqidagi ilmiy izlanishlari

Figuralarning yuzlarini o’lchash masalasi juda qadimdan insoniyat oldidagi muommolardan biri sanalgan. Bu masala Amaliy geometriya masalalaridan biri bo’lib, u bilan yer o’lchagichlar, hunarmandlar, quruvchilar doimo shug’ullanib kelishgan. Shuning uchun matematiklar amaliyotchilar uchun maxsus qo’llanmalar tayyorlab berishgan. Bunday adabiyotlardan birinchisini al-Xorazmiy (783-850) arab tilida tayyorlab amaliyotchilarga yetkazib bergan.

U o’zining algebralar kitobining «O’lchashlar haqida bob» bo’limida geometrik figuralar va ularni o’lchash haqida ma’lumotlarni to’plab chop etgan.

Avvalo al-Xorazmiy birlik yuza haqida tushuncha kiritib kvadrat, uchburchak, rombning yuzini hisoblash qoidasini beradi. U teng tomonli uchburchakni qaraydi va har qanday uchburchak uchun yaroqli bo’lgan quyidagi qoidani yaratadi. «Agar uchburchakning balandligi vash u balandlik tushuvchi asosining yarmini o’zaro ko’paytirilsa, shu uchburchakning yuzi kelib chiqadi». Romb uchun al-Xorazmiy quyidagi qoidani beradi: «Agar sen rombning bir dioganalini ikkinchi dioganalining yarmiga ko’paytirsang uning yuzi topiladi».

Al-Xorazmiy o’z kitobida to’rtburchaklarni sinflarga bo’lgan va ularning yuzlarini hisoblash qoidalarini bergan.

To’rtburchaklarni quyidagicha besh xil ajratgan:
1) kvadrat 2) to’g’ri to’rtburchak 3) romb 4) parallelogramm 5) tomonlari va burchaklari har xil bo’lgan to’rtburchak.

Kvadrat va to’rtburchaklarning yuzalarini o’lchashga nisbatan al-Xorazmiy yozadi: «To’g’ri to’rtburchakli va teng tomonli to’rtburchak yoki to’g’ri burchakli va har xil tomonli to’rtburchaklarning yuzini topish uchun ularning enini bo’yiga ko’paytir, u holda nima chiqsa o’sha yuza bo’ladi».

Misol. To’rtburchakli yer maydonining har bir tomoni 5 chuzim («chuzim» - qadimgi o’lchov birligi bo’lib, taxminan 0,5m ga teng) bo’lsa, u holda uning yuzi 25 chuzim bo’ladi. (1-chizmada tasvirlangan)

5

5 1-chizma

юза 48
Misol. To’g’ri to’rtburchakli yer uchastkasining uzunligi 8 chuzim va 8 chuzim, eni esa 6 va 6. U holda uning yuzini topish uchun 8 ni 6 ga ko’paytir, 48 hosil bo’ladi, bu esa uning yuzi bo’ladi. Uning chizmasi bunday bo’ladi. (2 chizma) 8
6 6

8 2-chizma

Ma’lum tomonlariga ko’ra rombning yuzini al-Xorazmiy ikki hol uchun hisoblagan: 1. har ikala dioganali ma’lum bo’lganda; 2. dioganallaridan biri ma’lum bo’lganda. Qoida, misol, chizma yordamida keltiriladi. «Hamma tomonlari 5 chuzimdan dioganallaridan biri 8 chuzim, ikkinchisi 6 chuzim bo’lgan rombning yuzi uning ikki dioganali orqali yoki ulardan biri orqali aniqlanadi» deb o’rgatadi al-Xoazmiy.

Agar ikkila dioganal aniq bo’lsa, uning yuzi u dioganallarining biri ikkinchisining yarmiga ko’paytirish bilan topiladi, ya’ni 8 ni 3 ga ko’paytir yoki 4 ni 6 ga ko’paytir, u holda 24 hosil bo’ladi va u izlangan yuza bo’ladi. Agar dioganallardan biri aniq bo’lsa, u holda senga ikkita uchburchak aniq bo’lib, ularning har birining ikki tomoni 5 chuzimdan iborat, uchunchi tomoni esa dioganaldir. Ularning yuzalari uchburchak yuzini topish qoidasiga ko’ra topiladi. Buning chizmasi 3 chizmada tasvirlangan

3-chizma

Al-Xorazmiy parallegramni romband deb atagan va quyidagicha ta’riflagan.

«Eni va uzunligi har xil burchaklari ham har xil, lekin ikki uzunligi bir xil va ikki eni ham bir xil». Uning yuzini «Uchburchaklarning dioganallari yordamida yuzini hisoblashqoidasi» ga ko’ra hisoblashni tavsiya etgan.

Al-Xorazmiy o’z asarlarida uchburchaklarni uchta sinfga 1) to’g’ri burchakli, 2) o’tkir burchakli, 3) o’tmas burchakli chburchaklarga bo’lgan va ularning yuzlarini algebraik usulda topishni o’rgatgan. To’g’ri burchakli uchburchaklar uchun Pifogor teoremasi o’rinli: a²+b²=c² bunda a, b katetlar, c gipotenuza (buni al-Xorazmiy so’zlar bilan ifodalangan).

O’tkir burchakli uchburchaklar uchun a²+b²>c²

O’tmas burchakli uchburchaklar uchun a²+b²2 ekanligini so’zlar orqali tasdiqlagan.

To’g’ri burchakli uchburchak yuzini hisoblash qoidasini misol yordamida tushuntirgan.

«To’g’ri burchak tomoni 6 chuzim, boshqa tomoni 8 chuzim, gipotenuzasi esa 10 chuzim, 6 ni 4 ga ko’paytirsang 24 chiqadi. Bu uning yuzidir».

O’tkir va o’tmas burchakli chburchaklarning balandligi tushunchasini quyidagicha beradi. Uchburchakning bir tomonini asos deb olib asosga yopishmagan burchagidan asosga tosh tashlab, shu tosh tushgan nuqtaga o’tkazilgan kesma balandlik deb aytilishini aytadi. Bunda u shunday deydi: «Har qanday teng tomonli uchburchakning uchidan asosiga o’tkazilgan balandlik to’g’ri burchakli bo’lib tushadi va aniq asosning o’rtasiga tushadi, agar tomonlari har xil bo’lsa, toshning tushish o’rni asosning o’rtasi bilan mos tushmaydi». Misol sifatida tomonlari 10 chuzimga teng bo’lgan teng tomonli uchburchakni qaraydi. Blandlikni aniqlash uchun Pifagor teoremasidan foydalaniladiva quyidagi hisoblashlarni bajaradi.

1) 5²=25; 2) 10²=100

3) 100–25=75 4) BD=

Bu uchburchakning yuzi

5 ^{ } ga tengligini so’zlar orqali tasdiqlaydi.
«Bilki,—deb yozadi Xorazmiy.—har bir to’g’ri burchakli uchburchak shundayki, agar kichik tomonlarining har biri o’z-o’ziga ko’paytirilsa va bu ko’paytmalar qo’shilsa, bu katta tomonining o’z-o’ziga ko’paytmasiga teng bo’ladi». Buni isbotlash uchun Xorazmiy ABCD kvadrat shakl yasaydi (6-shakl).

Uning AC tomonini E nuqtada teng ikkiga bo’lib, unga EG perpendikulyar o’tkazadi. AB ni F nuqtada teng ikkiga bo’lib, unga FH perpendikulyarni o’tkazadi. U vaqtda ABCD shakl to’rtta o’zaro teng shakllardan iborat bo’ladi. So’ngra EF, FG, ON, NE chiziqlarni o’tkazib, sakkizta o’zaro teng

uchburchaklar hosil qiladi. AF chiziqning o’z-o’ziga ko’paytmasi bilan AE chiziqning o’z-o’ziga ko’paytmasi birgalikda to’rtta o’zaro teng uchburchaklar yuzlarini hosil qiladi. FE chiziqning o’z-o’ziga ko’paytmasi ham xuddi shunday o’zaro teng uchburchaklar yuzlarini tashkil etadi. Isbot ana shundan iborat. Xorazmiy to’rtburchaklar besh xil shaklda bo’lishini yozib, ularning yuzlarini topish qoidalarini bergan. Shu jumladan, rombning yuzi uning diagonallari yoki bir diagonali va tomoni orqali ifodalanishi mumkin deb yozadi.

Xorazmiy amaliy ahamiyatga ega bo’lgan bir qancha geometrik masalalar va ularni yechish usullarini bayon etadi.

Masalan, tomonlari BC = 15, AB = 14, AC = 13 bo’lgan o’tkir burchakli uchburchak yuzini Xorazmiy quyidagicha topadi (7-shakl). Pifagor teoremasiga asosan:

h²=15² – (14 – x² va h² = 13²– x². Demak, 15 – (14–x)² = 13² — x²

bundan 28x = 140, x = 5, u vaqtda h² = 169 – 25 = 144, h = 12. Uchburchakning yuzi: