O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta‘lim vazirligi

§. Al-Xorazmiyning algebra va arifmetikaga oid ishlari.

Mashhur olim Xorazmiy o’zining matematika sohasida yozgan asarlari bilan butun jahonga tanilgan olimdir. Xorazmiyning matematika faniga doir ikki asari bizgacha yetib kelgan. Bular algebra va arifmetika sohasida yozilgan asarlar bo’lib, matematika fanining keyingi taraqqiyotiga katta ta’sir ko’rsatgan va juda ko’p matematik tekshirishlarning asosi bo’lib xizmat etgan asarlar hisoblanadi.

Xorazmiy o’zining bu asarlarida bir qancha yangi matematik masalalarni nazariy tomondan hal etish bilan birga, bu masalalarning amaliy tatbiqlarini ham ko’rsatgan. Talantli olim o’z asarlarini kishilarning kundalik amaliy ehtiyojlari va turmush talablarini qondirish kabi masalalarni hal etish uchun foydala- nishga moslab yozishga intilgan. Shu sababli uning matematika sohasidagi asarlari ham nazariy, ham amaliy jihatdan juda katta ahamiyatga egadir.

1. 
   Xorazmiyning «al-jabr val-muqobala» asari Bu risola algebra fanidan yozilgan birinchi asar bo’lib, bunda
   

algebraning asosiy tushunchalari, mazmuni va ilk qoidalari berilgan. Shunga ko’ra

Xorazmiy„algebra._fanining asoschisi hisoblanadi. Ko’p asrlar davomida algebradan asosiy qo’llanma bo’lgan bu asar orqali Sharq va Fapb olimlari algebra fanini o’rgandilar, unga sharhlar yozdilar.

Asar Yevropada katta shuhrat qozonib, fransuz matematigi Viyet (1540— 1603) zamonasigacha algebradan asosiy darslik kitobi bo’lib keldi.

Xorazmiyning algebradan yozgan asari 1145 yilda ingliz olimi Robert Chester tomonidan lotin tiliga tarjima qilingan, inglizcha tarjimasi esa 1915 yilda nashr etilgan. Bu asar italiyalik tarjimon Gerardo tomonidan ham lotin tiliga tarjima qilingan. Bu tarjima 1883 yilda nashr etilgan. Asarning arabcha qo’l yozmasi Oksford universitetiningkutubxonasida saqlan- moqda. U «Al-jabr val

muqobala hisobi haqida qisqacha kitob» «Kitobul-muxtasar fi hisob al-jabr val- muqobala» deb atalgan. Uning qo’lyozmasi. 1342 yili ko’chirilgan, buning teksti va inglizcha tarjimasi 1831 yilda nashr etilgan. u Asar uch bo’limdan iborat bo’lib, birinchi bo’limi algebra masalalariga bag’ishlangan; ikkinchi bo’limida geometriyaga, o’lchashga doir masalalar, algebraning ba’zi bir tatbiqlari bayon etilgan; uchinchu bo’limi meros bo’lish hisoblariga bag’ishlangan. Bu kitob asosan birinchi va ikkinchi darajali tenglamalarni «al-jabr val-muqobala» usuli bilan yechishga bag’ishlangan. by usul shundan iborat: «al-jabr» so’zi to’ldirish ma’nosini anglatib, 6x–7–0 ko’rinishdagi tenglamani yechish uchun chap tomondagi ayriluvchi (7 ni) tashlab, o’ng tomonda shu ayriluvchini «to’ldirishdan» iboratdir. Boshqacha aytganda, agar tenglamaning bir tomonida yoki ikkala tomonida ayriluvchi bo’lsa, bitta kamayuvchining o’zini qoldirish uchun ayriluvchini tashlab, bunga teng miqdorni ikkinchi tomonga qo’shish «al-jabr» deyilgan. «Al-jabr» so’zining lotinchada a 1 g ye b g yozilishidan hozirgi

«algebra» so’zi kelib chiqqan. «Al-muqobala» tushunchasi 5x+4=9x kabi tenglamani yechish misolida ikkala tomondan 5x ni ayirish ma’nosini bildiradi. Agar tenglamaning ikkala tomonida bir xil jinslar, ya’ni o’xshash hadlar bo’lsa, ikkala tomonidan umumiysini, misolimizda 5x ni tashlash «al-muqobala», ya’ni qolgan hadlarni ro’para qo’yish deyiladi. Demak, al-jabr val-muqobala ikki algebraik amaldan iborat. Asarda shu ikki usuldan foydalanib, birinchi va ikkinchi darajali tenglamalarning yechilishi ko’rsatilgan.

G’arbning yirik fan tarixchisi Sarton IX asrning birinchi yarmini Xorazmiy davri deb ataydi va Xorazmiyga «O’z davrining eng buyuk matematigi va agar davrdagi butun ahvolni e’tiborga olsak, hamma davrlarning ham eng buyuk siymosidir» deb yuksak baho beradi.

Xorazmiy risolasida hyech qanday formulalar va simvollar bo’lmay, balki tenglamalar va ularning yechilishi so’zlar bilan bayon etilgan. U davrlarda boshqa olimlarning asarlari ham shu tarzda yozilgan. Bunda noma’lum «shay» (narsa), uning kvadrati «mol» deb atalgan. Noma’lum, «ildiz» (jazr) deb ham atalgan. Qoidalar esa ayrim misollar bilan bayon etilgan, miqdorlar ba’zan chiziqlar bilan ifodalangan. Xorazmiy, kvadrat tenglamalarni quyidagi hollarga bo’ladi:

1. 
   Xorazmiy yozadi: «Kvadrat, ildizlarga teng bo’lgan hol, masalan, kvadrat o’zining beshta ildizlariga teng bo’lsa u vaqtda bu kvadratning ildizi beshga teng bo’ladi, uning kvadrati yigirma beshga yoki beshta ildizga teng buladi». Ya’ni x²=5x dan x =5 (x²=25). Birinchi hol uchun berilgan bu qoida yana quyidagi misollar bilan tushuntiriladi:
   

1 _x2

3

= 4x. x² = 12x, x =12, (x² =144).

5x² = 10x, x² = 2x, x = 2, (x² = 4).

Bunda noma’lumning kvadratini topish ham alohida ta’kidlab o’tiladi.

2. 
   „Kvadratlar songa teng, masalan, „agar sen aytsangki, kvadrat to’qqizga teng, u vaqtda to’qqiz – kvadrat va uning ildizi uch bo’ladi" deb yozadi Xorazmiy. Ya’ni x² = 9, x = 3. Bu qoida bilan yana shunday mi- sollar yechiladi:
   

5x:² = 80, x⁸ = 16, x = 4.,

¹ x^{2 =18, x2 = 36 x =6.}

2

3. 
   „Ildizlar songa teng" tenglamasining yechilishi quyidagi misollar bilan tushuntiriladi. Agar ildiz uchga teng bo’lsa, demak, ildiz uch va uning kvadrati to’qqiz bo’ladi, ya’ni x = 3 (x² = 9)
   

4x = 20, x – 5, (x² = 25),

¹ x ^{=10 x = 20 (x2 = 400).}

2

2. «Kvadratlar va ildizlar songa teng», ya’ni ax³ + bx = s shaklidagi kvadrat tenglamani, masalan, x²+10x=39 ni yechish uchun Xorazmiy shunday qoida beradi: «Agar sen aytsangki, kvadrat va uning o’nta ildizlari 39 dirhamga teng, u vaqtda buning ma’nosi shuki, agar biror kvadratga uning ildizlarining un baravari qo’shilsa, o’ttiz to’qqiz hosil bo’ladi». Uning qoidasi shunday: ildizlar sonini ikkiga bo’l, bu masalada besh bo’ladi, uni o’z-o’ziga ko’paytir, yigirma besh bo’ladi. Buni o’ttiz to’qqizga qo’shsang, oltmish to’rt bo’ladi. Bundan ildiz chiqar, sakkiz bo’ladi va undan ildizlar sonining yarmini, ya’ni beshni ayir, uch ^oladi, mana shu sen izlagan kvadratning ildizi buladi, kvadrat esa tukkiz buladi.„Agar,

— deb yozadi Xorazmiy, — kvadrat rntta bul- masdan, ikkita, uchta va umuman kup sonda bulsa, bitta kvadratga keltirish kerak". Boshs^cha aytganda, yaoma’lumning yu^ori darajasi oldidagi koeffisiyentni birga aylantirish kerak. Buning uchun tenglamaning har ikki tomonini kvadratning koeffisiyentiga bo’lib, hosil bo’lgan tenglamani yuqorida bayon etilgan qoida bo’yicha yechish kerak.

Masalan, 2x²+10= 48 tenglamani avval x^a + 5l; = 24 shakliga,

1 _x2

2

+ 5x = 28

tenglamani ham avval x² +- 10x = 56 shakliga keltirib, so’ngra yuqorida bayon etilgan qoida bo’yicha yechish kerak.

Shundan so’ng Xorazmiy ax²+bx=s shaklidagi kvadrat tenglamani yechish uchun yuqorida berilgan qoidani geometrik usul bilan isbotlaydi.

Kvadrat tenglamalarga keltiriladigan masalalar birinchi marta qadimgi bobilliklar tomonidan yechilgan. Bunday tenglamalarning sonli yechimlarini aniqlash qoidalari ularga ma’lum edi. Qadimgi yunon matematiklari bunday tenglamalarni «geometrik algebra» yordamida yechganlar. Masalan, mashhur yunon geometri Yevklid (eramizdan oldingi III asr) o’zining «Negizlar» asarining ikkinchi kitobida kvadrat tenglamalarni kesmalar va yuzlar yordamida geometrik usulda yechishni ko’rsatadi. Xorazmiy esa Yevklid foydalangan shakllardan emas, balki boshqa shakllardan foydalanib, ikkinchi darajali tenglamalarni. yechishni o’z geometrik usullari bilan izohlaydi. Masalan: x²+10x =39 yoki umumiy holda x²+bx=s shakldagi teiglamani yechishni quyidagicha tushuntiradi. (Buni hozirgi belgilashlarga asosan bayon etamiz.)

1 - shaklda ko’rsatilgandek, AV kvadratni olib, uni x² bilan belgilanadi. Bu

kvadratning har bir tomoniga balandligi

¹⁰ bo’lgan to’g’ri to’rtburchak yasaladi.

4

Bu shaklning qolgan burchaklarida kvadratlar yasalsa, ularning tomonlari
 ⁵ 2

¹⁰ dan

4

bo’lib, hamma kvadratlar yuzlarining yig’indisi 4 _{ } =25 ga teng bo’ladi.

 ² 

Shunday qilib, hosil qilingan katta kvadratning tomoni x+ ¹⁰ ga teng, uning

2

yuzi x²+4∙ ¹⁰ x +25yig’indidan yoki x² + 10x + 25 = 39 + 25 = 64 dan iborat, ya’ni

4

katta kvadratning CE tomoni

= 8 bo’ladi. Demak, x+ ¹⁰ = 8 yoki x + 5 = 8,

2

bundan x = 3. Noma’lum «x» ni yana bunday ifodalash mumkin: x +

¹⁰ = 64

2

₁₀

=
= Bundan x+ =

2
10

25  39 

64  8

yoki x=8–5=3. Bundan:



X = ² .

Agar bu formula x:² + bx = s tenglamaga tatbiq etilsa:

• 
  b
  

x= ²

yoki

• 
  b
  

² bo’ladi

Xorazmiy x²+bx = s tenglamani yana boshqa bir shakl bilan tushuntiradi: bunda