O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti

16-misol. Quyidagi tenglikni isbotlang:



Isbot: Biz bu tenglikni isbotlashda yuqorida ko‘rgan gradientning differensial xossalaridan foydalanamiz. Masalan, bu tenglikni ikkinchi xossa yordamida osongina isbotlash imkoniga egamiz:

deb faraz qilaylik. Biz yuqorida o‘rgangan ikkinchi xossa quyidagicha edi:

biz o‘z farazimizga murojat qilgan holda quyidagilarni yoza olamiz:

bu fo‘rmula esa biz qarayotgan misoldagi tenglikning to‘g‘ri ekanligini ko‘rsatadi.

Sirt normalining yo‘naltiruvchi ko‘sinuslari.
Tenglamasi ko‘rinishida berilgan sirtni skalyar maydonning sath sirti sifatida qarash mumkin, bu maydonning gradient

berilgan sirtning ixtiyoriy nuqtasida normal bo‘ylab yo‘nalgan bo‘ladi. Shuning uchun, sirtga o‘tkazilgan normalning yo‘naltiruvchi ko‘sinuslari quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

(31)

demak, sirtga o‘tkazilgan birlik normal vektorni qisqacha quyidagicha yozish mumkin:

bu formulada ishorani tanlash sirtga o‘tkazilgan normalning tanlanishiga qarab olinadi.

Izoh: sirtning yo‘naltiruvchi ko‘sinuslari funksiya differensiallanuvchi bo‘lib, xususiy hosilalari bir vaqtda no‘lga teng bo‘lmagan nuqtalardagina aniqlangan bo‘ladi. Agar biror nuqtada xususiy hosilalar bir vaqtda no‘lga teng bo‘lsa normal aniqlanmaydi.

Normali mavjud bo‘lgan sirtning nuqtalariga sirtning maxsus nuqtalari deyiladi. Masalan, konus sirtining uchi konus sirti uchun maxsus nuqtadir.

Sirt tenglamasi biror o‘zgaruvchiga nisbatan oshkor ko‘rinishda bo‘lsin. Masalan, . Buni quyidagicha yozish mumkin:

Demak, deb qarash mumkin. Shuning uchun

(32)

bo‘ladi. Bu xususiy hosilalardan foydalanib biz ko‘rinishida (biror o‘zgaruvchisiga nisbatan oshkor ko‘rinishda berilgan sirt tenglamasi) berilgan sirt tenglamasi uchun uning yo‘naltiruvchi kosinuslarini hisoblaymiz. Bu yo‘naltiruvchi ko‘sinuslarni hisoblash uchun (31) fo‘rmulalardagi (yo‘naltiruvchi kosinuslar fo‘rmulalaridagi) xususiy hosilalar o‘rniga (32) xususiy hosilalarni mos ravishda joylashtiramiz. Bu esa bizga tenglama bilan berilgan sirtning yo‘naltiruvchi ko‘sinuslari uchun quyidagi fo‘rmulalarni taqdim qiladi:

ko‘rinishida bo‘ladi. Yoki qisqacha