O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti

13-misol. Agarda bo‘lsa, uning gradientini toping.

Yechish: Biz bu misolni yechishda to‘rtinchi xossadan foydalanamiz.



14-misol. Quyidagi fo‘rmulani isbotlang:

bunda lar ham maydon bo‘lib, ular uch o‘zgaruvchilidir.

Isbot: Masala shartidan bilish mumkinki bizga berilgan ifoda anchagina murakkab, ya’ni uning barcha o‘zgaruvchilari bo‘yicha xususiy hosilalarini topish anchagina qiyinchilik tug‘dirishi mumkin. Shunday qilib, biz berilgan tenglikni isbotlashimiz uchun berilgan funksiyalarning xususiy hosilalarini topib olamiz:

bu hosil qilingan xususiy hosilalarni mos ravishda gradient fo‘rmulasiga joylashtiraylik:

ko‘rinishidagi ifodani hosil qilamiz, natijada biz qarayotgan misoldagi tenglik isbotlanadi.

15-misol. Bizga maydon tenglamasi quyidagicha berilgan bo‘lsin:

bu maydonning quyidagi ikkita nuqtasidagi gradienti orasidagi burchakni topish kerak bo‘lsin va . Ular orasidagi burchak esa deb belgilangan.

Yechish: Biz yuqoridagi misollardagi kabi bu maydon tenglamasidan ham barcha o‘zgaruvchilari bo‘yicha differensiallarini topamiz. Ular esa quyidagilarga tengdir:

bu ifodalarning masalada berilgan nuqtadagi qiymatlarini topaylik,

mana biz maydonning berilgan ikkita nuqtadagi hosila qiymatlarini hisoblab chiqdik. Endi bu qiymatlar orqali berilgan nuqtalardagi gradientlarning tenglamasini tuzib olamiz:

bu tenglamalarni ikki vektor orasidagi burchakni topish haqidagi fo‘rmulaga joylashtirsak biz ular orasidagi burchak kosinusini topib olamiz. Bu esa bizga berilgan masalaning javonini beradi. Burchak kosinusi quyidagiga tengdir:

bu tenglikdan esa ning qiymatini quyidagicha topolamiz:

= (k=1,2,…..).