O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti

Isbot: tenglik oltinchi xossani isbotlaydi.

7-misol. skalyar maydon gradientini toping.

Yechish: (19) fo‘rmulaga asosan,



8-misol. maydonning nuqtadagi maksimal o‘sish qiymatini toping.

Yechish: Maydon gradientini topamiz:

maydonning nuqtadagi maksimal o‘sish qiymati

ga teng bo‘ladi.

9-misol. Ellipsning optik xossasini isbot qiling: Ellipsning biror fokusidan chiqqan nur ellipsdan qaytgandan so‘ng ellipsning ikkinchi fokusidan o‘tadi.

Yechish: nuqtalar ellipsning fokuslari bo‘lsin. .

skalyar maydonni qaraylik. Ellipsning ta’rifiga ko‘ra

bo‘lganda

nuqta ellipsda yotadi. Ya’ni ellips skalyar maydonning sath

chizig‘idir.

Shuning uchun, nuqtada ellipsning normali bo‘ylab yo‘nalgan bo‘ladi. Shu bilan birga gradient vektorlaridan tuzilgan parallelogramning diagonali bo‘ylab, yo‘nalgan bo‘ladi. Bu vektorlar birlik vektorlar bo‘lgani uchun parallelogram rombdan iborat bo‘ladi va bo‘ladi. U holda kelib chiqadi. tengliklardan kelib chiqadi. Ya’ni fokusdan chiqqan nur ellipsdan qaytgandan so‘ng fokusdan o‘tadi.

10-misol. Koordinatalar boshida joylashgan nuqtaviy zaryadning nuqtadagi potensiali

bo‘ladi. Ana shu elektrostatik potensiallar maydonining gradientini toping.

Yechish: funksiya uchun ekvipotensial sirtlar markazlari koordinatalar boshidagi sferalardir, chunki dan bo‘ladi. Sferaning normali radius bo‘ylab markaz tomon yo‘nalgan holda kamaya borsa funksiya esa o‘sa boradi, shuning uchun radius bo‘ylab markaz tomon yo‘nalgandir. Demak, normalning differensiali - ga teng.

ning o‘zini topish uchun bu ifodani nuqtaning radius vektori bo‘lgan r ning minus ishorasi bilan olingan birlik vektoriga ko‘paytirish kifoya.



11-misol. Quyidagi tenglama bilan berilgan maydonning ko‘rsatilgan nuqtalardagi gradientini hisoblang.

a) ; b) ; c)

Yechish: Eng avvalo berilgan maydon funksiyasidan uning barcha o‘zgaruvchilari bo‘yicha xususiy hosilalarini topaylik:

a) O nuqtadagi maydon gradientini hisoblaymiz: ammo avval yuqoridagi xususiy hosilalarning O nuqtadagi qiymatlarini hisoblaylik.

endi gradientni topamiz:

b) Bu holatda ham biz maydonning yuqorida olingan xususiy hosilalarining berilgan nuqtadagi qiymatlarini topib olamiz:

endi bu qiymatlar asosida gradientni hisoblaymiz:

c)

demak,