|
Asosiy qism
1. Skalyar va vektor maydon.
Agar butun fazodagi yoki uning ma’lum bir qismidagi har bir nuqtaga biror fizik hodisani ifodalovchi kattaliklarning muayyan qiymatlari mos keltirilgan bo‘lsa, fizikada maydon termini ishlatilib, u shu fazoni yoki uning qismini belgilaydi. Misol uchun fazoning turli nuqtalarida havoning temperaturasi temperaturalar maydonini ifodalaydi. Yerni o‘rab olgan atmosferada bosimlar maydoni, havo namligi maydonini hosil qiladi va hakozo. Maydon hosil qiluvchi kattalik skalyar bo‘lsa, skalyar maydon deyiladi. Agarda bu kattalik vektor bo‘lsa vektor maydon berilgan deyiladi. Atmosfera bosimlar maydoni va temperatura bosimlar maydoni skalyar maydonga misol bo‘la oladi. Tezliklar yoki elektr zaryadining kuchlanishlar maydoni vektor maydonga misol bo‘la oladi. Vaqt o‘tishi bilan maydon o‘zgarmasa statsionar maydon deyiladi. Aks holda esa nostatsionar maydon deyiladi. Biror jismning zichliklari maydoni statsionar maydonga misol bo‘la olsa, havoning namliklar maydoni esa nostatsionar maydonga misol bo‘la oladi.
Maydon hosil qiluvchi skalyar kattalikni bilan, maydonning ixtiyoriy nuqtasini bilan belgilasak, ning har bir holatiga kattalikning qandaydir son qiymati mos keladi, yani ni nuqtaning funksiyasi deb qarashimiz mumkin:
(1)
bu holda nuqtaning funksiyasi berilgan deymiz. Nostatsionar maydon uchun
(2)
fazoda ma’lum Dekart koordinatalari sistemasi o‘rnatilgan bo‘lsin, bu sistemada
nuqta koordinatalarga ega bo‘ladi, yani,
= (3)
M nuqtaning radius vektori bo‘lsa, (3) o‘rniga
(4)
ni yozish mumkin. Tekshirilayotgan kattalikning qiymatlari biror tekislikdagi soha nuqtalariga mos keltirilgan bo‘sa, yassi maydon berilgan deymiz. Bu tekislikni tekislik uchun qabul qilinsa (3) o‘rniga
(5)
yozamiz.
Vektor maydon bilan ish ko‘radigan bo‘lsak (1), (2), (3), (4) o‘rniga
, , , yozamiz.
Misollar keltiraylik. Agar -zaryad nuqtaning koordinatalar boshida joylashgan zaryadgacha masofasi bo‘lsa, elektrostatik maydonning patensiali ushbu
(6)
fo‘rmula bilan aniqlanadi. Bu skalyar maydonga misoldir.
funksiya fazoning faqat bitta nuqtasida koordinatalar boshida aniqlanmagan bo‘lib, qolgan hamma nuqtalarida aniq qiymatga ega.
(7)
funksiya,
yoki,
tengsizlikni qanoatlantiruvchi sohada yani quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘lgan
(8)
konus ustidagi va konusdan tashqaridagi nuqtalar haqiqiy qiymatlarga egadir.
Biz yuqorida skalyar va vektor maydonlar haqida umumiy malumotlar keltirdik. Endi bu naydonlarga alohida to‘xtalgan holda ular haqida ko‘proq ma’lumotlar olamiz.
Ta’rif. Fazodagi biror sohaning har bir nuqtasiga aniq qonun bo‘yicha biror son mos qo‘yilgan bo‘lsa, bu sohada skalyar maydon berilgan deyiladi.
Agar skalyar maydon simmetriklik xususiyatiga ega bo‘lsa, uni tahlil qilish juda osonlashadi.
Agar koordinata sistemasini shunday tanlash imkoni mavjud bo‘lsaki, unda maydon funksiyasi faqat ikki o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lsa, bunday maydonlarga yassi maydonlar deyiladi. Yassi maydonga bir xil isitilgan uzun aylanma trubali issiqlik trassasining atrofida joylashgan tuproq temperaturasini keltirish mumkin. Bunday holatda truba o‘qiga perpendikulyar joylashgan barcha tekisliklarda temperatura bir xil bo‘ladi. Bunda tuproq temperaturasini aniqlovchi funksiya ikki o‘zgaruvchili bo‘ladi.
Agar koordinatalar sistemasi shunday tanlansaki, unda skalyar maydon faqat bir o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘lsa, bir o‘lchamli maydon deyiladi. Masalan, tinch holatda turgan suv temperaturasini bir o‘lchovli deyish mumkin. Bunda suv havzasining temperaturasi suv sathidan qancha pastligiga bog‘liq bo‘ladi. Skalyar maydonni silindirik koordinatalar sistemasida ham qarash mumkin. Agar skalyar maydon biror silindirik koordinatalar sistemasida ga bog‘liq bo‘lmasa, bunday maydonni o‘qqa simmetrik deyiladi. Yuqorida keltirilgan issiqlik trassasi atrofidagi tuproq temperaturasi o‘qqa nisbatan simmetrik bo‘ladi. Agar yassi skalyar maydon faqat radial koordinatagagina ega bo‘lsa, bunday maydon o‘qli maydon deyiladi. Agar biror sferik koordinatalar sistemasida skalyar maydon faqat masofa ga bog‘liq bo‘lsa, bunday maydon markaziy maydon deyiladi. Misol sifatida gravitatsion potensialni keltirish mumkin:
(9)
bu yerda gravitatsion o‘zgarmas. massa. Koordinata boshida joylashgan zaryadning hosil qilgan elektrostatik patensiali
(10)
ham markaziy maydon bo‘ladi (koordinata boshidan tashqari).
Agar bo‘lsa, u holda sferada yotgan nuqtalar elektrostatik maydon patensiali o‘zgarmas bo‘ladi.
Biz doimo funksiyani bir qiymatli uchchala erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha uzluksiz hosilalarga ega deb faraz qilamiz. Agar bu hosilalar bir paytda no‘lga aylanmasa
, (11)
tenglama biror sirtni ifodalaydi.
Ta’rif. Maydon skalyari bir xil qiymatlarga erishadigan maydon nuqtalari to‘plamiga shu maydonning sath sirtlari deyiladi.
funksiya bir qiymatli bo‘lgani uchun har xil larga mos kelgan sath chiziqlari o‘zaro kesishmaydi.
Sath sirti deb ataluvchi bu sirt nuqtalarida o‘zgarmas qiymatni saqlaydi.
Fizik nuqtaiy nazardan maydonning sath sirtlari maydonning fizik hodisa bir xil bo‘ladigan nuqtalarining geometrik o‘rnini bildiradi.
Xususan, yassi skalyar maydon qaralayotgan bo‘lsa, sath sirtlari deyish o‘rniga sath chiziqlari degan ibora ishlatiladi. Masalan, sinoptik kartalarda belgilanadigan izobarlar va izotermalar mos ravishda bosimlar maydonini va temperaturalar maydonining sath chiziqlarini ifodalaydi.
Bir qancha misollarni ko‘rib chiqaylik.
1-misol. Ushbu skalyar maydonning sath sirti tenglamasini toping:
bunda vektor o‘zgarmas vektor, vektor esa nuqtaning radius vektori.
Yechish: Bunda
ga teng. Ularning skalyar ko‘paytmasi esa
Demak, sath sirti tenglamasi quyidagicha bo‘ladi.
bundan yoki ni olamiz. Bu parallel tekisliklar oilasini beradi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
