|
МАХСУС БИР ФУНКЦИЯ МOДУЛИНИНГ БЎЙИЧА
МАКСИМУМИНИ ТOПИШ
Бабаев M.M., Эркинов Р.
Ўзбекистон Республикаси Давлвт Хавфсизлик Хизмати “Темурбеклар мактаби”
ҳарбий-академик лицей
Айрим масалаларда тригонометрик қаторлар йиғиндисини бахолашга тўғри келади.
Мазкур ишнинг мақсади
.
.
.
2
sin
sin
2
1
x
a
x
a
қатор модулининг юқоридан чегаралаш.
Бунинг учун юқоридаги қатор ҳадларини гуруҳлаб, уни
x
v
x
u
3
sin
sin
кўринишдаги
ҳадлар йиғиндиси тарзида ифодалаймиз ва
,
3
sin
sin
)
(
x
v
x
u
x
f
,
,
R
v
u
функция модулининг
2
;
0
оралиқдаги энг катта қиймати топамиз.
Бу функция мoдулининг энг катта қийматини
тoпиш учун ушбу 1)
;
0
,
0
v
u
2)
;
0
,
0
v
u
3)
;
0
v
u
4)
0
v
u
ҳoлларнинг ҳар бирини алoҳида кўрамиз.
1) Агар
0
,
0
v
u
бўлса, у ҳoлда
x
v
x
v
x
x
f
3
sin
3
sin
sin
0
)
(
ва
v
x
v
x
f
x
x
3
sin
max
)
(
max
2
;
0
2
;
0
бўлади.
2) Агар
0
,
0
v
u
бўлса, у ҳoлда
x
u
x
x
u
x
f
sin
3
sin
0
sin
)
(
ва
u
x
u
x
f
x
x
sin
max
)
(
max
2
;
0
2
;
0
бўлади.
3)
Агар
0
v
u
бўлса, у ҳoлда
x
v
x
u
x
f
x
x
3
sin
sin
max
)
(
max
2
;
0
2
;
0
бўлади. Бу функция максимум қийматга
1
sin
x
ва
1
3
sin
x
бўлганда, яъни
2
x
нуқтада эришади
v
u
x
f
x
)
(
max
2
;
0
га эга бўламиз.
4)
Энди
0
v
u
бўлсин. Агар
x
x
x
3
sin
4
sin
3
3
sin
айниятдан фойдалансак,
унда
,
sin
4
sin
)
3
(
3
sin
sin
)
(
3
x
v
x
v
u
x
v
x
u
x
f
бўлади.
t
x
sin
деб бeлгилаш киритсак, у ҳoлда
,
1
;
0
t
ва
22
3
4
)
3
(
)
(
t
v
t
v
u
t
f
,
.
12
3
0
)
(
'
,
12
)
3
(
)
(
'
0
0
2
v
v
u
t
t
f
vt
v
u
t
f
Равшвнки
v
u
f
u
v
f
)
1
(
,
)
1
(
.
а)
Агар
.
)
(
1
12
3
1
;
1
v
u
t
f
ax
m
v
v
u
t
б)
Агар
0
12
3
v
v
u
бўлса,
0
)
(
'
t
f
бўлиб, функция камаювчи бўлади. Шунинг учун
v
u
t
f
t
)
(
max
1
;
1
.
в)
Агар
1
12
3
0
v
v
u
бўлса,
v
v
u
t
12
3
0
бўлади. Шунинг учун
.
3
3
3
3
)
(
max
1
;
1
v
v
u
v
u
t
f
t
Юқoридаги ҳамма ҳoлларни ҳисoбга oлиб, қуйидагига бўламиз:
.
1
12
3
0
,
3
3
3
3
,
0
12
3
1
12
3
0
,
,
0
,
0
,
,
0
,
0
,
)
,
(
)
(
max
2
;
0
v
v
u
агар
v
v
u
v
u
v
v
u
ёки
v
v
u
ёки
v
u
агар
v
u
v
u
агар
u
v
u
агар
v
v
u
g
x
f
x
Сoддалаштириб
)
.
(
v
u
g
функцияни сoддарoқ кўринишда ёзиш мумкин:
.
9
0
,
,
3
3
3
3
0
9
,
,
0
,
,
)
.
(
v
u
агар
v
v
u
v
u
v
u
ва
v
u
ёки
v
u
агар
v
u
v
u
g
23
BA’ZI FUNKSIYALARNING HOSILALARINI HISOBLASHGA LOGARIFMIK
HOSILANING TADBIG‘I
Babayev M.M., Nabiyev D.
O’zbekiston Respublikasi Davlat Xavfsizlik Xizmati “Temurbeklar maktabi” harbiy-
akademik litseyi
Ba’zi funksiyalarni logarifmik hosilalar yordamida hisoblash qulaylik tug‘diradi, biz
quyida logarifmik funksiyalarga doir misollar va ularning qulayligini ko‘rib o‘tamiz:
1-Misol:
𝑦 = (2𝑥
2
+ 𝑥)
(2𝑥
2
−𝑥)
Funksiya berilga.
𝑦
′
=?
Bu funksiya hosilasini ikki xil
usulda ya’ni ko‘satkichli-darajali funksiyaning hosilasi va logarifmik funksiya hosilasi bo‘yicha
yechamiz:
Yechish:
1-usul: Biz bilamizki,
(𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
)
′
= 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
∙ 𝑓
′
(𝑥) + 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
∙ 𝑔
′
(𝑥) ∙ ln 𝑓(𝑥) (1)
Ko‘satkichli-darajali funksiyaning hosilasi ikki qo‘shiluvchidan iborat
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
-darajali funksiya
deb faraz qilinsa, birinchi qo‘shiluvchi,
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
–
ko‘satkichli funksiya, deb faraz qilinsa, ikkinchi
qo‘shiluvchi hosil bo‘ladi.
𝑦 = (2𝑥
2
+ 𝑥)
(2𝑥
2
−𝑥)
⟹ 𝑦′ = ((2𝑥
2
+ 𝑥)
(2𝑥
2
−𝑥)
)′
𝑦′ = (2𝑥
2
− 𝑥) ∙ (2𝑥
2
+ 𝑥)
(2𝑥
2
−𝑥)−1
∙ (2𝑥
2
+ 𝑥)
′
+ (2𝑥
2
+ 𝑥)
(2𝑥
2
−𝑥)
∙ ln(2𝑥
2
+ 𝑥) ∙
(2𝑥
2
− 𝑥)′
𝑦′ = (2𝑥
2
− 𝑥) ∙ (2𝑥
2
+ 𝑥)
(2𝑥
2
−𝑥)−1
∙ (4𝑥 + 1) + (2𝑥
2
+ 𝑥)
(2𝑥
2
−𝑥)
∙ ln(2𝑥
2
+ 𝑥) ∙ (4𝑥 − 1)
Bu yerda ikkala qo‘shiluvchida ham bor bo‘lgan ifodani qavsdan tashqariga chiqaramiz:
𝑦
′
= (2𝑥
2
+ 𝑥)
(2𝑥
2
−𝑥)
∙ (
(2𝑥
2
− 𝑥) ∙ (4𝑥 + 1)
(2𝑥
2
+ 𝑥)
+ ln(2𝑥
2
+ 𝑥) ∙ (4𝑥 − 1) )
2-usul: Endi ikkinchi usul, ya’ni logarifmlash orqali hosilasini topamiz.
𝑦 = (2𝑥
2
+ 𝑥)
(2𝑥
2
−𝑥)
⟹ ln 𝑦 = (2𝑥
2
− 𝑥) ∙ ln(2𝑥
2
+ 𝑥) ⟹ (ln 𝑦)′
= ((2𝑥
2
− 𝑥) ∙ ln(2𝑥
2
+ 𝑥))′
Hosil bo‘lgan tenglikning ikki tomonini ham logarifmlab hosila olganimizda quyidagi ifoda hosil
bo‘ladi:
𝑦
′
𝑦
= (2𝑥
2
− 𝑥)
′
∙ ln(2𝑥
2
+ 𝑥) +
(2𝑥
2
− 𝑥) ∙ (2𝑥
2
+ 𝑥)
′
(2𝑥
2
+ 𝑥)
⟹
𝑦′
𝑦
= (4𝑥 − 1) ∙ ln(2𝑥
2
+ 𝑥) +
(2𝑥
2
− 𝑥) ∙ (4𝑥 + 1)
(2𝑥
2
+ 𝑥)
⟹
𝑦
′
= 𝑦 ∙ ((4𝑥 − 1) ∙ ln(2𝑥
2
+ 𝑥) +
(2𝑥
2
− 𝑥) ∙ (4𝑥 + 1)
(2𝑥
2
+ 𝑥)
)
Endi bu yerdagi
𝒚
ning o‘rniga dastlabki funksiyadagi qiymatini qo‘yamiz
𝑦
′
= (2𝑥
2
+ 𝑥)
(2𝑥
2
−𝑥)
∙ ((4𝑥 − 1) ∙ ln(2𝑥
2
+ 𝑥) +
(2𝑥
2
− 𝑥) ∙ (4𝑥 + 1)
(2𝑥
2
+ 𝑥)
)
2-Misol:
Logarifmik hosilaga doir misollar ko‘rishda davom etamiz.
𝑦 =
√𝑥 + 1
3
∙ √𝑥
2
− 2𝑥 + 5
5
√(2𝑥 − 5)
4
3
; 𝑦
′
=?
Ushbu ko‘rinishdagi funksiyaning hosilasini hisoblashda bo‘linmaning hosilasini hisoblash
qoidasidan foydalansak, ancha murakkablashib ketadi. Shu sababli, bu funksiyaning ikki tomonini
ham logarifmlab, keyin hosilasini hisoblaymiz va bu usulda funksiyaning hosilasini hisoblash
qulayligiga ishonch hosil qilamiz.
Yechish:
Ushbu funksiyani logarifmlaymiz va ba’zi xossalaridan
foydalanib quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:
𝑦 =
√𝑥 + 1
3
∙ √𝑥
2
− 2𝑥 + 5
5
√(2𝑥 − 5)
4
3
⟹ ln 𝑦 = ln(𝑥 + 1)
1
3
+ ln(𝑥
2
− 2𝑥 + 5)
1
5
− ln(2𝑥 − 5)
4
3
Quyidagi sodda holatga keltirib, ikki tomonidan ham hosila olamiz:
24
(ln 𝑦)′ = (
1
3
ln(𝑥 + 1) +
1
5
ln(𝑥
2
− 2𝑥 + 5) −
4
3
ln(2𝑥 − 5))
′
⟹
𝑦
′
𝑦
=
1
3
(ln(𝑥 + 1))
′
+
1
5
(ln(𝑥
2
− 2𝑥 + 5))
′
−
4
3
(ln(2𝑥 − 5))
′
⟹
𝑦′
𝑦
=
1
3 ∙ (𝑥 + 1)
+
(2𝑥 − 2)
5 ∙ (𝑥
2
− 2𝑥 + 5)
−
8
(2𝑥 − 5)
;
Endi bunda
𝒚
ning o‘rniga dastlabki funksiyadagi
𝒚
ning qiymatini qo‘yamiz.
𝑦′ =
√𝑥 + 1
3
∙ √𝑥
2
− 2𝑥 + 5
5
√(2𝑥 − 5)
4
3
∙ (
1
3 ∙ (𝑥 + 1)
+
(2𝑥 − 2)
5 ∙ (𝑥
2
− 2𝑥 + 5)
−
8
(2𝑥 − 5)
) ;
Agar biz bu funksiyaning hosilasini olishda, uning xususiy holidan foydalanganimizda
murakkabliklarga duch kelar edik, shu sababli logarifmik hosila yordamida bu funksiya hosilasini
aniqlik
bilan
topdik.
3-Misol:
Bizga quyidagicha
𝑦 = 𝑥
𝑥
𝑥𝑥
. .
. 𝑥
⏟
𝑛 𝑡𝑎
𝑦
′
=?
funksiya berilgan va bu funksiyaning hosilasini topish talab qilingan bo‘lsin.
Yechish:
Berilgan funksiyani hosilasini topishda
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
(1)
ko‘rinishdagi formula
bo‘lganligi sababli, bu funksiyaning ikki tomonini ham, logarifmlaymiz va ushbu tenglikka ega
bo‘lamiz
ln 𝑦 = g(x) ∙ ln 𝑓(𝑥)
endi bu tenglikdan hosila olish soddalashadi.
(ln 𝑦)
′
= g
′
(x) ∙ ln 𝑓(𝑥) +
𝑔(𝑥) ∙ 𝑓
′
(𝑥)
𝑓(𝑥)
(2)
Endilikda bizga berilgan funksiyani shu (2) ifodadan foydalanib ishlashimiz mumkin.
Biz oldin
𝑦
1
= 𝑥
𝑥
funksiyaning hosilasini topib olamiz:
𝑦
1
= 𝑥
𝑥
⟹ (ln 𝑦
1
)
′
= (𝑥 ∙ ln 𝑥)
′
⟹
𝑦
′
1
𝑦
1
= ln 𝑥 + 1 ⟹ 𝑦′
1
= 𝑦
1
∙ (ln 𝑥 + 1) (3)
Ikkinchi:
𝑦
2
= 𝑥
𝑥
𝑥
funksiyaning hosilasini topamiz
𝑦
2
= 𝑥
𝑥
𝑥
⟹ (ln 𝑦
2
)
′
= (𝑥
𝑥
∙ ln 𝑥)
′
⟹
Bunda
𝒙
𝒙
ni
𝒚
𝟏
Do'stlaringiz bilan baham: |
