O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi toshkent ahborot texnologiyalari universiteti qarshi filiali telekomunikatsiya Texnologiyalari Fakulteti Telekomunikatsiya Injineringi Kafedrasi “Telekamunikatsiya” yo’nalishi

2. Maksvellning tenglamalarning mohiyati. Yuqoridagi kattaliklarni invariantligidan, maydon vektorlariga tegishli quyidagi xulosalar kelib chiqadi:

         1. Agar biror sistemada s²V² >E² va   bo`lsa, shunday sistema tanlash mumkinki, unda =0, 0 bo`ladi: agar  vektor  ga perpendikulyar bo`lmasa, bunday sistema mavjud emas; 

  2. Agar biror sistemada s²V^{2 2} va    bo`lsa, shunday sistema tanlash mumkinki, unda  0, = 0  bo`ladi; agar  vektor  vektorga perpendikulyar bo`lmasa, bunday sistema mavjud emas; 

3. Agar qandaydir ISS da faqat elektr maydon yoki magnit maydon bo`lsa, boshqa ISS larda ham elektr maydon, ham magnit maydon bo`lib, ular o`zaro perpendikulyar bo`ladi;    

4. Maydon vektorlari sV=E,   shartlarni qanoatlantiruvchi yassi to`lqin barcha ISS larda ham yassiligicha qoladi. 

Ma`ruzaning oxirida shuni takidlash joizki, zarralar va jismlarning zaryadi ISSlarini tanlashga bog’liq emas, zaryad va tok zichliklari esa nisbiy kattaliklardir.
Elektromagnit maydoni. Maksvell tenglamalari
Maksvell elektromagnit maydon nazariyasini ishlab chiqdi, bu nazariyaga muvofiq, o‘zgaruvchan elektr maydoni o‘zgaruvchan magnit maydonini, o‘zgaruvchan magnit maydoni esa, o‘zgaruvchan elektr maydonini vujudga keltiradi. Bu ikkilamchi o‘zgaruvchan maydonlar uyurma harakterida bo‘ladi: vujudga keltirayotgan maydonning kuch chiziqlari vujudga kelayotgan maydonning kuch chiziqlari bilan konsentrik o‘rab olingan. Natijada o‘zaro o‘ralgan elektr va magnit maydonlar sistemasi hosil bo‘ladi (1-rasm).











E₀

1-rasm.

Rasmda E₀ to‘g‘ri chiziq birlamchi o‘zgaruvchan elektr maydonini, H gorizontal aylanalar ikkilamchi o‘zgaruvchan magnit madoynini, vertikal E aylanalar esa – ikkilamchi o‘zgaruvchan elektr maydonini tasvirlaydi. O‘zgarmas elektr va magnit maydonlar yagona elektromagnit maydonning xususiy holatidir.

Dastlab zaryadlar va toklar bilan bog‘langan o‘zgaruvchan elektr va magnit maydonlar so‘ngra zaryadlar va toklardan mustaqil holda mavjud bo‘lishi va bir-birini hosil qilib fazoda qo‘yidagi tezlik bilan harakatlanishi mumkin:

(1)

(1) formulaga ε₀ va μ₀ larning son qiymatlari va o‘lchamlarini qo‘ysak, u paytda:

(2)

bu yerda ε va μ – muhitning nisbiy dielektrik va magnit singdiruvchanlik-lari.

(2) formulaga muvofiq, vakuumda (ε=1, μ=1) elektromagnit maydonlar v=3·10⁸ tezlik bilan tarqaladi.

Fazoda harakatlanib elektromagnit maydon o‘ziga tegishli elektro-magnit energiyani olib o‘tadi. Elektromagnit energiya oqimining zichligi ρ, ya’ni ko‘chish yo‘nalishiga perpendikulyar yuza birligidan vaqt birligida olib o‘tilgan energiya qo‘yidagi munosabat bilan ifodalanadi:

(3)

bu yerda ω_em – elektromagnit maydoni energiyasining zichligi va u quyidagiga

teng bo‘ladi:

(4)

Elektromagnit energiya oqimi o‘z yo‘lidagi to‘siqqa bosim bilan ta’sir qiladi. Bu bosim oqim zichligiga proporsional bo‘lib, qo‘yidagi formula bilan ifodalanadi:

(5)

bu yerda X – qaytarish koeffitsiyenti.

Agar to‘siq elektromagnit energiyasini to‘la qaytarsa, ya’ni X=1, u holda:

(6)

Agar to‘siq uni to‘la yutsa, ya’ni X=0, u holda:

(7)

Maksvell siljish toki tushunchasini kiritdi. Faraz qilaylik, yassi kondensator qoplamlariga o‘zgaruvchan e.yu.k. berligan bo‘lsin (2-rasm). U holda tok keltiruvchi simlarda elektronlarning harakatidan yuzaga kelgan o‘tkazuvchanlik toki oqadi, ya’ni:

2-rasm.

(8)

bu yerda S – qoplamaning yuzasi;

q – qoplamada taqsimlangan zrayad;

 - zaryadning sirt zichligi.

Maksvell tashqi zanjirida oquvchi o‘tkazuvchanlik toki kondensator ichida alohida tok-siljish toki bilan tutashadi deb faraz qildi. Siljish toki elektr maydon kuchlanganligining o‘zgarish tezligiga proporsional va tashqi zanjirdagi o‘tkazuvchanlik tokiga teng bo‘ladi, ya’ni:

(9)

Vakuumdagi siljish toki elektr zaryadlarning siljishidan iborat bo‘lmaydi, shuning uchun bu tok joul issiqligi ajratmaydi.

Shunday qilib, Maksvell nazariyasiga asosan, o‘zgaruvchan elektr maydoni qamrab olgan fazoda siljish toki vujudga keladi. Berk bo‘lmagan konturlarda mavjud bo‘lgan o‘zgaruvchan o‘tkazuvchanlik toki hamma vaqt siljish toklari bilan berkiladi.

Siljish tokining kashf qilinishi Maksvellga elektr va magnit hodisalarining yagona nazariyasini yaratish imkonini beradi. Maksvell nazariyasining asosiy natijasi yorug‘lik tezligida tarqaluvchi elektro-magnit to‘lqinlar mavjudligining isbot qilinishi edi. Bu to‘lqinlarning xossalarini nazariy tekshirish Maksvellni yorug‘likning elektromagnit nazariyasini yaratishga olib keladi.

Nazariyaning asosini Maksvell tenglamalari tashkil qiladi. Mexani-kada Nyuton qonunlari, termodinamikada asosiy qonunlar qanday ahamiyatga ega bo‘lsalar, elektromagnetizmni o‘rganishda Maksvell tenglama-lari ham xuddi shunday ahamiyatga ega.

Maksvell tenglamalarining birinchi jufti quyidagicha bo‘ladi:

(10)

(11)

Bu tenglamalarning birinchisi E ning qiymatlarini B vektorning vaqt bo‘yicha o‘zgarishi bilan bog‘laydi va elektromagnit induksiya qonunini ifodalaydi. Ikkinchi tenglama B vektorning kuch chiziqlari berk ekanligini aks ettiradi.

Maksvell tenglamalarining ikkinchi juftini quyidagi tenglamalar tashkil qiladi:

(12)

(13)

bu yerda j – o‘tkazuvchanlik tokining zichligi.

Birinchi tenglama o‘tkazuvchanlik toki bilan siljish toki va ular yuzaga keltirgan magnit maydoni orasidagi bog‘lanishni aniqlaydi. Ikkinchi tenglama D vektorining kuch chiziqlari zaryaddan boshlanib, zaryada tugashi mumkin ekanligini ko‘rsatadi.

(10)-(13) tenglamalar Maksvellning integral shakldagi tenglamalaridir. Ular E yoki B ning biror kontur bo‘icha olingan qiymatlari bilan B mos holda D ning sirtning konturga tegib turgan nuqtadagi qiymatlari orasidagi bog‘lanishni beradi. Vektorlar analizi teoremalaridan foydalanib integral shakldagi tenglamalaridan differensial shakldagi tenglamalarga o‘tish mumkin. Differensial shakldagi tenglamalar biror nuqtadagi E yoki B ning qiymati bilan fazoning shu nuqtasidagi B mos holda D ning qiymati orasidagi bog‘lanishni beradi.

(10) formulaning chap tomoni uchun Stoks teoremasini qo‘llaymiz. U holda (10) tenglama quyidagi ko‘rinishni oladi:

(14)

Har ikkala integral ham bitta sirt bo‘yicha olinmoqda. Shuning uchun olingan tenglikni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

(15)

Shunday qilib, fazoning har bir nuqtasida

(16)

tenglik bajariladi.

(12) formulaga Stoks teoremasini qo‘llab, quyidagini topamiz:

(17)

(13) formulaning chap qismiga Ostrogradskiy-Gauss teoremasini qo‘llaymiz. Natijada quyidagi tenglamani hosil qilamiz:

(18)

Integral olinadigan hajm ixtiyoriy tanlangan bo‘lsa, yuqoridagi munosabat har ikkala qismdagi integral ostidagi ifodalar fazoning har bir nuqtasida birday qiymatga ega bo‘lgan holdagina bajariladi, ya’ni:

(19)

Ostrogradskiy-Gauss teoremasini (11) formulaga qo‘llasak, quyidagi ifodani hosil qilamiz:

(20)

Shunday qilib, Maksvell tenglamalari differensial shaklda quyidagicha yoziladi:

(21)

(22)

(21), (22) tenglamalarning birinchi jufti.

(23)

(24)

Bu tenglamalarni yechishda ularni tashkil qilgan kattaliklar orasida mavjud bo‘lgan quyidagi munosabatlardan ifodalanadi:

(25)

(26)

(27)

(10)-(13) yoki (21)-(24) shaklda berilgan Maksvellning fundamental tenglamalari elektromagnit maydonni to‘liq tenglamalar sistemasini tashkil qilmaydi. Bu tenglamalarga muhitni xos xususiyatlarini harakter-laydigan kattaliklarini qo‘shish kerak. Muhitni xos xususiyatlarini harakterlaydigan kattaliklarini bog‘lanishlari moddiy tenglamlar deyiladi. Moddiy tenglamalar quyidagiga teng:

(25)

(26)

(27)

bu yerda ε, μ,  - muhitning elektromagnit xususiyatlarini harakterlaydigan

kattaliklar.

Yettita tenglamlar, ya’ni (21)-(27) ning jami tinch holatdagi muhit elektrodinamikasining asosini tashkil qiladi.