O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat universiteti xolmuminova Sarvinoz Tuxtayevna «Chekli ayirmalar usuli va uning matematika fizika masalalarini yechishdagi tadbiqi»

O'zgaruvchan koeffitsientli issiqlik tenglamasining ikki qatlamli sxemalari. 86-rasm Endi statsionar bo'lmagan issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasiga (53) murojaat qilaylik. Oddiylik uchun c = 1, q = 0 ni o'rnatamiz. To'rtburchak uchun muvozanat tenglamasini yozamiz.

Bu erda Eng oddiy formulalarni olaylik:


bu yerda - ixtiyoriy son. uchun (57) formuladan foydalanib, (65), (66) ni (64) o'rniga qo'yib, biz ikki qavatli konservativ sxemani olamiz.


Bu erda a oldingi kichik bo'limning formulalari bo'yicha (qat'iy t uchun) hisoblanadi, shuning uchun . Biri uchun (68) ga 0 ga ekvivalent boshqa formulalardan ham foydalanish mumkin. Agar uzluksiz funksiya bo'lsa, qo'yamiz.
3-bandga o'xshatib, biz (67) sxemaning 0 ga yaqinligiga amin bo'ldik. Agar ni almashtirsak? Ifoda

Yoki

Balans tenglamasini G egri chiziq bilan chegaralangan tekislikdagi (x, t) istalgan G maydoni uchun yozish mumkin bo‘lgani uchun:

keyin o'zboshimchalik bilan bir xil bo'lmagan panjaralarda ichki va tashqi chegaralarni siljitish bilan termal muammolar bo'lsa, konservativ farq sxemalarini olish uchun ishlatilishi mumkin.
Xuddi shunday, gaz dinamikasi, elastiklik va boshqalar tenglamalari uchun konservativ sxemalarni olish mumkin.Barcha hollarda olingan farq sxemalarining yaqinlashish tartibini, barqarorligini, yaqinlashishini va boshqa xususiyatlarini tekshirish kerak, chunki bu sifatlar sxemaning konservativligidan kelib chiqmaydi.
Balans usuli yoki integro-interpolyatsiya usuli (613-betdagi ma'lumotnomaga qarang) amaliyotda keng qo'llaniladi. Olingan sonli hisoblash sxemalari uzluksiz koeffitsientlar sinfida birlashadi.
Endi mintaqadagi issiqlik tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani ko'rib chiqing

bu yerda c₁, c₂ doimiylar.
Uni tarmog'ida hal qilish uchun (1-band, 1-bandga qarang) biz balans usuli bilan olingan ikki qatlamli sxemadan (69) foydalanamiz:



Bu yerda h dagi 2-tartibli yaqinlashuv operatori.
(71) dan ni aniqlash uchun chegaraviy masala olamiz

Bu yerda va bilan ifodalanadi.
(71) sxemaning taxminiy xatosini baholaylik masala (71) yechimi, esa (70) asl masala yechimi bo‘lsin. (71) ni almashtirib, z = y-u farqi uchun shartlarni olamiz.

bu yerda (70) tenglamaning u = u(x, t) yechimi bo‘yicha (71) sxema bo‘yicha taxminiy xatolik. Shuni hisobga olib
ni olamiz, agar , n yetarli darajada silliq funksiyalardir
Bu nosimmetrik sxema h va da ikkinchi yaqinlashish tartibiga ega ekanligini ko'rsatadi.
Keling, (71) sxemaning dastlabki ma'lumotlarga va o'ng tomoniga nisbatan barqarorligini o'rganishga murojaat qilaylik. bo'lgani uchun (73) ni quyidagicha yozish mumkin.

Biz buni taxmin qilamiz


3-bo'limda bo'lgani kabi, biz identifikatsiyaga (33) o'xshash (74)-(76) muammosi uchun energiya identifikatorini yozamiz:

Green formulasida (19)
. a ni shaklida ifodalab, shartidan foydalanib, bizda mavjud. . Bu taxminni (77) ga almashtiramiz:



Keling, birinchi navbatda (74) sxemaning dastlabki ma'lumotlarga nisbatan barqarorligini o'rganamiz. Buning uchun (78) ni o'rnatamiz.Kvadrat qavs ichidagi ifoda uchun manfiy emasligini ko'rsatamiz. uchun bu aniq. bo'lsin. 4-bandga o'xshatib, biz topamiz

uchun (bu erda ). Demak, (78) dan kelib chiqadi


Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlangan.
Farq sxemasi (71) (yoki (74)) boshlang'ich ma'lumotlarda normada uchun barqaror.

Bunda uchun (74)-(76) masala yechimi bahoni qanoatlantiradi.

(81) dan kelib chiqadiki, aniq sxema uchun barqarordir, ya'ni aniq sxema barqarorligi uchun vaqt qadami qanchalik kichik bo'lsa, maksimal maksimal bo'lishi kerak. issiqlik o'tkazuvchanligi. Shuning uchun o'zgaruvchan koeffitsientli tenglamalar uchun aniq sxemalardan foydalanish o'rinli emas.
Keling, teoremani isbotlaylik.
uchun (74)-(76) farqli masalani yechish uchun quyidagi baho haqiqiy hisoblanadi:

Bunda

Keling, tengsizlikka murojaat qilaylik (78):

Bu erda smeta (46) o'rniga, biz (c₀ = 2 uchun) olamiz

Ushbu tengsizlikni hal qilib (4-bandga o'xshash):

Biz taxminiy (83) ga erishamiz.
Agar ekanligini hisobga olsak, u holda (83) dan (73) masalani yechish uchun olamiz.

Bunda

Bu quyidagi teoremani isbotlaydi.
Agar (71) sxema barqaror (a > 0,5 uchun) va (70) tenglamaga yaqin bo'lsa, u holda u yaqinlashadi va uning aniqlik tartibi yaqinlashish tartibiga to'g'ri keladi.
To'r bir xil bo'lmagan bo'lsin, uning qadami ga bog'liq. Keyin (71) dagi Ay o'rniga 1-§, 2-banddagi (15) iborani almashtirish kerak.

uchun taxminiy xatolik quyidagicha ifodalanishi mumkin

bu yerda ya’ni . Biroq, 2-bo'limda ko'rsatilganidek, taxminni qondiradi

Sxema balans usuli bilan olinishi mumkin.
Agar k(x,t) koeffitsienti x = const (belgilangan uzluksizlik) yoki harakatlanuvchi uzluksizlik) chizig‘ida birinchi turdagi uzilishga ega bo‘lsa, (71) sxema avvalgidek yaqinlashadi, lekin tartib uning aniqligi, umuman olganda, , pastga tushadi. Ruxsat etilgan uzilish holatida (x = const bo'lganda), to'rni shunday tanlash tavsiya etiladiki, x = const uzilish nuqtasi to'r tugun bo'ladi.. Bu bir xil bo'lmagan to'rlarga olib keladi. Biroq bunday to'rda (71) sxemaning aniqlik tartibi (h.da 2) uzluksiz k holatida ham saqlanib qoladi.
Uzluksiz koeffitsientlar va bir xil bo'lmagan panjara holatlarida aniqlik tartibini baholash ancha murakkablashadi. Bunday holda, (86) shakldagi baho haqiqiydir, lekin (86) ning o'ng tomonida o'rniga. yuqorida ko'rsatilgan maxsus shakl normasi mavjud.
Hozirgacha biz birinchi turdagi chegara shartlarini ko'rib chiqdik. Ular to'r bo'yicha va aniq qondiriladi va shuning uchun farq sxemasining to'g'riligi tenglamaning yaqinlashish tartibi bilan belgilanadi. 3-turdagi chegara shartlari taxminiy hisoblanadi. Ularning yaqinlashish tartibi differensial tenglamaning yaqinlashish tartibi bilan mos kelishini talab qilish tabiiy.
3-turdagi farq chegara shartlarini hosilasiz keltiramiz. Avval chegaraviy muammoni ko'rib chiqing


bu yerda . Tenglama (58) sxema bilan almashtiriladi va dagi shartlar 3-turdagi farq chegara shartlaridir.

bu yerda Bu shartlar tartibli (88) masalaning u = u(x) yechimiga (88) taxminiy shartlardir.
va ga nisbatan (89) ni yechib, uchinchi turdagi chegara shartlarining yana bir tasvirini olamiz:

Bunda
Endi (70) issiqlik tenglamasi uchun uchinchi chegaraviy masalaga murojaat qilaylik. x = 0, x = 1 uchun shartlar bo'lsin

3-turdagi farq chegara shartlari bu holda shaklga ega

bu yerda momentda olinadi -(71) tenglamaga kiruvchi parametr. Ular u = u(x, t) yechimida (91) shartli (70) tenglamalar) sxema (71 ) bilan bir xil yaqinlashish tartibiga ega. barcha uchun ma'lum ekanligini hisobga olsak (92) ni hisoblash shakliga (90) kamaytirish oson. Biz va uchun ifodalarni yozmaymiz.

Natijada ni aniqlash uchun chegara shartlari (90) bilan (72) ayirma tenglamasini olamiz.
9. Uch qavatli sxemalar. 8-bo'limda ko'rib chiqilgan ikki qatlamli sxemalarga qo'shimcha ravishda, issiqlik tenglamasining (70) raqamli yechimi uchun, kerakli y funktsiyasining qiymatlarini uch marta y uchun bog'laydigan uch qatlamli sxemalar qo'llaniladi. (uch qatlamda)
Ko'pincha uch qatlamli nosimmetrik sxemalar qo'llaniladi

Bu yerda . Ular har qanday a uchun taxminan xatolikka ega.
Uch qavatli sxema (93) uchun y(x, 0) dan tashqari t = ga y(x, t) qiymatini belgilash kerak.Buni ikki usulda amalga oshirish mumkin: 1) yordamida. u(x, t) = u(x, 0 ) + m ^ (x, 0) + 0{t2) formula va (70) tenglama, ni aniqlash uchun 2-darajali aniqlikdagi ikki qavatli sxemadan foydalanish uchun .Demak, boshlang‘ich bo‘lsin. shartlar berilishi kerak

x = 0, x = 1 uchun, masalan, 1-turdagi chegara shartlari o'rnatiladi.
Sxema (93) boshlang'ich sharoitda va o'ng tomonda barqaror ekanligini ko'rsatamiz.

Buning uchun bir jinsli chegarani ko'rib chiqamiz. yozuvini kiritamiz va hosilni (93) ko'rinishida qayta yozamiz.

(96) tenglamani ga ko'paytiring, yig'indini , ga ko'paytiring— 1 va identifikatsiyalarni hisobga olish

Natijada, biz ega bo'lamiz

Bunda

(98)
Keyin tengsizliklardan foydalanish

va ni tanlab, olamiz
Bu taxminni nazarda tutadi

Bu baho uchun (93)-(94) sxemaning tezligida yaqinlashuvini isbotlash imkonini beradi.
Yana bitta uch qavatli sxemani aniqlaymiz:

U shartsiz barqaror va aniqlikka ega. (101) dan ni aniqlash uchun (72) bilan muammoni olamiz

supurish usuli bilan hal qilinadi (10-bandga qarang)
Giperbolik tipdagi tenglama uchun


farq sxemalari kamida uchta qatlamni o'z ichiga olishi kerak.
Simmetrik sxemalar

taxminan ga ega va barqaror

Xususan, aniq sxema (a = 0) uchun shartli barqaror

Garchi barcha barqaror sxemalar (104) bir xil aniqlik tartibiga ega bo'lsa-da, lekin haqiqiy to'rlarda, sonli tajribalar bilan ko'rsatilgandek, sxemaning aniqligi a kamayishi bilan ortadi. Shuning uchun uchun shartsiz barqaror sxemalardan foydalanishni tavsiya qilishimiz mumkin.

4. 
   Uch qavatli sxemalar. Ayirmali tenglamalar sistemasini yechish. Trogonka ususli.
   

Issiqlik tenglamasining yashirin sxemalari yangi qatlamda kerakli funktsiya qiymati uchun algebraik tenglamalar tizimiga olib keladi.
Ush tenglamalar tizimi shaklga ega

bu yerda F_i berilgan funksiya.
Doimiy koeffitsientli tenglama uchun

O'zgaruvchan koeffitsientli tenglama uchun

To'g'ri bo'lmagan panjara holatida

Biz § 1 va 2 da ko'rib chiqqan 1 va 3 turdagi chegara shartlari shaklda yozilishi mumkin.

, shuning uchun 1-turdagi shartlar .
Shunday qilib, (105) tenglamani chegara shartlari (106) bilan ko'rib chiqing va shunday deb hisoblang

Bu sharoitda, quyida ko'rsatilganidek, (105)-(106) muammoni yechish mumkin. Uning yechimini topish uchun chiziqli algebraning odatiy usullaridan foydalanish mumkin. Supurish usuli yoki faktorizatsiya usuli tenglamalar sistemasi (105) matritsasining maxsus shaklini hisobga oladi: u tridiagonaldir.
(105)-(106) ko’rinishdagi masala yechimini izlaymiz

Bu erda va hali noma'lum funktsiyalardir. (105) ga ni qo‘yib, yo‘q qilamiz va ni olamiz, shundan so‘ng (108) dan foydalanib, biz. ni yo'q qiling:

Agar kvadrat qavs ichidagi ifodalar nolga teng bo'lsa (105) tenglama bajariladi. Bu ikki tenglikdan va ni aniqlash uchun takrorlanuvchi formulalarni topamiz:

formulasini i = 0 chegara sharti (106) bilan solishtirib, topamiz.

(109) ni dastlabki shartlar (110) bilan yechib, ni topamiz. dan boshlab (108) formuladan foydalanish uchun bilish kerak.
i = N da chegaraviy shartdan (106) va bo’yicha ni aniqlaymiz. Formulalardan ni chiqarib tashlasak.
(111)
bo'lishi sharti bilan.
(107) shartlar barcha , uchun ni bildirishini koʻrsatamiz formulasidan ko'rinib turibdiki, agar va demak, uchun chunki . Shunday qilib, uchun va (111) formula mantiqiy.
(105) - (106) masalani yechish ikki bosqichdan iborat: 1) dastlabki ma'lumotlar (110) va formulalar (109) bo'yicha ai ketma-ket aniqlanadi, keyin i = 1, 2, . . . , N uchun (sanoq chapdan o'ngga - 1 dan i + 1 gacha); 2) (111) dan ni topamiz va keyin (108) formula bo'yicha ketma-ket (o'ngdan chapga - i + 1 dan r gacha) ni aniqlaymiz.
Formulalar (108) bo'yicha hisoblash barqaror, chunki .
Supurish formulalarining bir variantini ham ta'kidlaymiz:



Hisoblash tartibi: 1) (112) va (113) formulalar bo'yicha i + 1 dan i gacha (o'ngdan chapga) ketma-ket, keyin i = N - - 1, N - 2, uchun aniqlanadi. 2) formulalar bo'yicha (114) ketma-ket i dan i + 1 gacha (chapdan o'ngga) .
(105)-(106) masalani yechishda bajarilgan arifmetik amallar soni tenglamalar soniga proporsional ekanligini tekshirish oson.