O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti «oliy matematika» kafedrasi

15-mashg’ulot.   Funksiya haqida asosiy tushunchalar 
Mustaqil ish uchun topshiriqlar 
1. 
1
)
(
2
x
x
f
 funksiya berilgan:1) 
)
4
(
f
;  2) 
)
2
(
f
;  3)
)
1
(a
f
; 
 4) 
)
2
( a
f
 larni hisoblang. 
2. Quyidagi funksiyalarning 
)
( f
D
 aniqlanish sohasini va 
)
( f
E
 qiymatlar to’plamini 
toping:  
 
1) 
)
3
ln(
)
(
x
x
f
;     2)  
x
x
f
2
5
)
(
;     3)  
x
x
f
1
)
(
. 
3. Quyidagi funksiyalarning aniqlanish sohasini toping: 
 1)  
4
7
3
)
(
x
x
x
f
;  2)  
)
/(
)
(
)
(
x
a
x
a
x
f
;                                                
 3)  
)
6
5
lg(
)
(
2
x
x
x
f
;    
4)  
x
f
1
arccos
2
)
(
 .                                                    
4.  Hajmi 
1
v
 birlikka teng bo’lgan silindr asosining radiusi 
r
 va balandligi  
h
 
orasidagi funksional bog’lanishni toping. 
5. 1)
2
,
1
)
(
x
u
u
u
f
;  2)
x
x
x
u
u
u
f
/
1
)
(
),
1
/(
1
)
(
;   
3)
x
x
u
u
u
f
4
)
(
,
)
(
2
                                  
funksiyalardan 
x
 ning murakkab funksiyalarini tuzing. 
6.  Quyidagi funksiyalarga teskari funksiyalarni toping va topilgan funksiyalarning 
aniqlanish va o’zgarish sohalarini aniqlang: 
1) 
,
0
,
1
)
(
2
x
x
x
f
; 2)
)
,
(
,
3
2
)
(
x
x
x
f
;    
3)
)
,
(
,
)
1
(
)
(
3
x
x
x
f
;    4) 
0
,
,
1
)
(
2
x
x
x
f
. 
7. Quyidagi funksiyalarning aniqlanish sohalarini toping va ularning grafiklarini yasang. 
1) 
x
y
1
;    2) 
x
y
3
;    3)
x
1
2
; 
   4)
1
2
x
y
. 
 
8.  1) 
5
4
5
3
4
lim
x
x
x
, 2)
5
)
7
4
(
lim
3
x
x
, 
 
     3) 
3
)
8
5
(
lim
1
x
x
, 4)
10
6
4
)
3
(
lim
2
2
x
x
x
 
ekanligini funksiya limiti ta’rifidan foydalanib isbotlang xamda 
x
 va berilgan funksiyalar 
kiymatlari jadvali bilan tushuntiring. 
9.  Quyidagi limitlarni, limitlarning xossalaridan foydalanib hisoblang:. 
           1) 
);
6
7
2
(
lim
2
3
x
x
x
  2) 
);
7
4
6
5
3
(
lim
2
3
4
1
x
x
x
x
x
 
 
 3) 
;
4
6
3
2
5
4
lim
2
2
3
x
x
x
x
x
  4) 
;
6
7
4
5
lim
2
2
4
x
x
x
x
x
 

 
72 
 
 5) 
;
5
6
12
7
lim
2
2
5
x
x
x
x
x
  6) 
)
8
3
lg(
8
2
lim
2
2
3
t
t
t
t
t
. 
10.  Ushbu 
)
0
/
0
(
 va  
)
/
(
 ko’rinishdagi aniqmasliklarni oching:         
        1) 
;
6
7
12
8
lim
2
2
6
x
x
x
x
x
    2)  
;
6
5
4
2
7
3
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
 
       3)
;
3
4
2
3
lim
4
2
1
x
x
x
x
x
      4)  
;
2
3
4
8
5
7
6
10
lim
3
2
2
3
x
x
x
x
x
x
x
 
5)
;
11
2
4
6
3
9
8
7
5
2
lim
2
3
5
2
3
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
  6)  
17
4
6
7
10
12
3
5
8
lim
3
5
6
2
4
6
7
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.  
11.  Quyidagi limitlarni hisoblang: 
1)  
;
1
2
25
lim
2
5
x
x
x
 
 
2)   
;
1
1
lim
0
x
x
x
 
3)  
;
1
1
lim
0
x
x
x
x
       4)   
;
2
sin
lim
x
tgx
x
 
5)   
;
3
3
9
lim
2
3
x
x
x
  
6)   
.
49
3
2
lim
2
7
x
x
x
 
12. Quyidagi limitlarni birinchi va ikkinchi ajoyib limitlardan foydalanib hisoblang:            
     1)  
;
4
sin
lim
0
x
x
x
 2)  
;
3
/
sin
lim
0
x
x
x
  3)  
;
2
/
sin
lim
2
2
0
x
x
x
 
     4)  
;
sin
2
cos
1
lim
0
x
x
x
x
  5)  
;
2
2
3
sin
lim
0
x
x
x
 6) 
;
/
1
sin
lim
x
x
x
 
     7)
;
/
2
1
lim
n
n
n
    8) 
;
3
1
lim
/
1
0
x
x
x
        9) 
;
/
5
1
lim
n
n
n
 
    10)  
;
3
/
1
1
lim
n
n
n
 11)  
;
2
1
lim
/
1 x
n
x
 12)  
.
1
/
lim
n
n
n
n
    
13. Quyidagi aniqmasliklarni oching: 
1)  
;
1
lim
2
x
x
x
         2)
;
lim
2
2
a
x
x
x
 
3)  
;
8
12
2
1
lim
3
2
x
x
x
           4)  
9
6
3
1
lim
2
3
x
x
x
 . 
16-mashg’ulot.  Funksiyaning uzluksizligi va uzilishi Mustaqil yechish uchun misollar 
1. 
2
x
y
 funksiyaning uzluksizligini, 
5
,
3
0
x
x
 nuqtalarda, orttirmalar orqali 
ko’rsating. 
2.  1) 
7
5
3
2
3
x
x
y
,  2) 
5
3
4
2
3
x
x
y
   funksiyalar  uzluksizligini 
3
;
2
1
0
x
x
 nuqtalarda, orttirmalar orqali ko’rsating. 
3. 
x
y
sin
 va 
x
y
cos
 funksiyalarning 
x
 ning hamma qiymatlari uchun uzluksiz 
ekanligini ko’rsating. 
 
4. Quyidagi funksiyalarning uzilish nuqtalarini toping va ularning turini aniqlang: 

 
73 
 1) 
;
4
8
)
(
x
x
f
 
2)  
4
(
x
x
x
f
. 
 
5. Ushbu funksiyalarning uzilish nuqtalarini toping va ularning turini aniqlang: 
 1) 
;
3
9
)
(
2
x
x
x
f
 
2)  
5
25
)
(
2
x
x
x
f
. 
17,18-mashg’ulotlar.  
1.Funksiya hosilasi 
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar 
1. 
2
2
1
)
3
;
)
2
;
sin
)
1
x
y
tgx
y
x
y
 funksiyalarning 2- tartibli  osilalari 
topilsin. 
2. 
x
x
y
x
y
x
y
sin
)
3
;
1
)
2
;
cos
)
1
2
2
 funksiyalarning 3- tartibli  osilalari 
topilsin. 
3. 
a
x
arctg
y
te
y
x
x
y
t
)
3
;
)
2
;
ln
)
1
 funksiyalarning 3- tartibli  osilalari 
topilsin. 
4. 
x
y
e
y
x
y
a
x
)
3
;
)
2
;
ln
)
1
 funksiyalarning 
n
- tartibli  osilalari topilsin. 
5. 
x
y
x
y
x
y
n
2
cos
)
3
;
sin
)
2
;
)
1
   funksiyalarning 
n
-  tartibli  osilalari 
topilsin. 
6. Leybnis formulasi bo’yicha: 
x
x
y
x
a
y
x
e
y
x
x
sin
)
3
;
)
2
;
cos
)
1
2
3
 
 funksiyalardan 2- tartibli  osilalar topilsin. 
7. Leybnis formulasi bo’yicha: 
x
x
y
x
x
y
x
e
y
x
cos
)
3
;
ln
)
2
;
sin
)
1
2
 
funksiyalardan 3- tartibli  osilalar topilsin. 
8. 
)
0
(
),
(
),
(
,
)
(
)
(
)
(
n
n
a
x
f
x
f
x
f
xe
x
f
 topilsin. 
9. 
)
0
(
...,
),
(
),
0
(
),
0
(
),
1
(
)
(
)
(n
f
x
f
f
f
x
x
f
 topilsin. 
10. 
2
arcsin
)
3
;
)
2
;
)
1
2
x
y
ctgx
y
e
y
x
 funksiyalarning 2- tartibli  oslalari 
topilsin. 
2.Funksiyaning differensiali 
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar 
Quyidagi funksiyalarning differensiallari topilsin. 
1.    
.
3
3
)
2
;
)
1
2
3
x
x
x
y
x
y
n
  
2. 
.
2
)
2
;
1
)
1
2
2
gt
s
x
y
 
3. 
.
1
)
2
;
2
sin
2
)
1
2
t
x
r
 

 
74 
4. 
).
cos
1
(
)
2
);
(sin
)
1
2
u
d
t
d
 
5. 
);
ln
(
)
2
;
)
1
d
a
x
arctg
x
a
d
 
 
Quyidagi funksiyalarning differensiallari topilsin. 
1. 
.
1
)
2
);
sin(
)
2
;
1
1
)
1
2
2
t
s
b
a
r
x
x
y
 
2. 
.
)
2
;
1
4
)
2
;
cos
ln
)
1
2t
e
s
u
arctg
z
x
y
 
3. 
).
(
)
3
);
(
)
2
);
1
(
)
1
bt
e
bt
d
tg
d
x
d
       
3. Differensial hisobning asosiy teoremalari. 
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar 
1. 
Ushbu 
x
x
f
sin
 funksiya uchun 
]
2
;
0
[
 segmentda Roll teoremasining shartlari 
bajariladimi? 
2. 
Ushbu 
x
e
x
f
, 
2
2
1
x
x
x
g
  funksiyalar 
]
2
;
0
[
  segmentda  Koshi 
teoremasining shartlarini kanoatlantiradimi? 
3. 
Ushbu 
1
2
x
x
x
f
  funksiya  uchun 
]
2
;
0
[
  va 
]
1
,
0
[
  segmentlarda  Roll 
teoremasining shartlarini tekshiring. 
4. 
0
,
0
0
,
1
sin
x
x
x
x
x
f
  funksiya uchun [-1; 1] oralikda 
Lagranj teoremasi o’rinlimi? 
5. 
3
4
2
x
x
x
f
 funksiya ildizlari orasida uning xosilasining xam ildizi bor ekani 
tekshirilsin. 
6. 
Roll teoremasini 
3
2
x
x
f
 funksiyaga [-1; 1] segmentda tatbiq qilish mumkinmi? 
7. 
2
x
y
 parabolaning qaysi nuqtasida o’tkazilgan urinma 
1
;
1
A
  va 
9
;
3
B
 
nuktalarni birlashtiruvchi vatarga parallel bo’ladi? 
8. 
]
,
[
b
a
 segmentda 
2
x
x
f
 funksiya uchun Lagranj formulasi yozilsin va s topilsin. 
Grafik usul bilan tushuntirlsin. 
9. 
]
4
;
1
[
 segmentda 
x
x
f
 funksiya uchun Lagranj formulasi yozilsin va s topilsin. 
10. 
3
x
x
f
  va 
2
x
x
g
  funksiyalar  uchun  Koshining 
c
g
c
f
a
g
b
g
a
f
b
f
 
formula yozilsin hamda s topilsin. 
11. 
3
x
x
f
  funksiya  uchun  Lagranjning 
c
f
a
b
a
f
b
f
  formulasi 
yozilsin va s topilsin. 
12.  Quyidagi funksiyalar uchun Lagranj formulasi yozilsin va s topilsin: 
1)  [0; 1] segmentda 
x
arctg
x
f
; 
2)  [0; 1] segmentda 
x
x
f
arcsin
; 
3)  [1; 2] segmentda 
x
x
f
ln
. 
19,20 -mashg’ulotlar.  Hosila tatbiqlari  
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar 

 
75 
1. Quyidagi funksiyalarning o’sishi va kamayishi tekshirilsin. 
1. 
2
x
y
; 
5. 
x
tg
y
; 
2. 
3
x
y
; 
6. 
x
e
y
; 
3. 
x
y
1
; 
7. 
2
4
x
x
y
. 
4. 
x
y
ln
; 
 
 
2. Quyidagi funksiyalarning ekstremumlari topilsin va ularning grafiklari yasalsin. 
1. 
5
4
2
x
x
y
; 
8. 
2
1
1
x
y
 
2. 
x
x
x
y
3
3
2
3
; 
9. 
3
13
6
2
x
x
x
y
; 
3. 
3
4
4
x
x
y
; 
10. 
x
x
y
1
2
; 
4. 
1
3
2
x
y
; 
11. 
3
2
4
1
x
y
; 
5. 
4
2
1
4
2
x
x
y
; 
12. 
2
;
2
4
x
tg
x
y
oralikda 
6. 
3
4
3
x
x
y
; 
13. 
2
x
xe
y
; 
7. 
x
x
y
2
2
; 
14. 
x
x
y
ln
. 
 
3. Quyidagi funksiyalarning ekstremumlari topilsin va jadvallari tuzilsin. 
1. 
2
4
x
x
y
; 
6. 
x
x
x
y
9
6
2
3
; 
2. 
3
2
2
x
x
y
; 
7. 
4
4
3
x
x
y
; 
3. 
2
3
3
x
x
y
; 
8. 
x
x
y
ln
2
; 
4. 
2
2
x
x
y
 
9. 
2
;
2
,
2
sin
x
x
y
oralikda. 
5. 
2
4
2
4
x
x
y
; 
 
4. Funksiya grafigining qavariqligi, botiqligi va egilish nuqtasi.  Mustaqil 
bajarish  uchun topshiriqlar 
Quyidagi funksiyalarning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini toping. 
1. 
0
,
1
,
x
x
x
f
; 
2. 
x
e
x
f
; 
3. 
x
x
f
ln
; 
4. 
x
x
x
x
f
3
10
2
5
; 
5. 
2
1
1
x
x
f
; 

 
76 
6. 
6
5
5
x
x
y
; 
7. 
4
4
4
5
x
x
y
; 
8. 
2
2
x
e
y
; 
9. 
4
12
2
2
x
y
; 
10.  
x
x
e
y
ln
; 
11.  
x
xe
y
1
; 
12.  
3
1
3
x
x
y
; 
13.  
2
4
2
1
x
x
y
; 
14.  
x
x
y
ln
; 
5. Quyidagi  funksiyalar grafikla rining egilish 
nuqtalarini toping.  
1. 
6
5
5
x
x
y
           2.  
2
2
x
e
y
             3.
x
xe
y
1
 
   3.
3
1
3
x
x
y
         4. 
x
y
cos
            5.  
2
1
4
2
x
x
y
 
        6. 
3
2
1
x
y
           7.   
x
x
y
ln
2
2