|
5.
n-tartibli determinantni Vandermond determinantiga olib kelib hisoblash
Vandermond determinanti
deb,
1
3
2
1
2
3
2
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
...
1
...
...
...
...
...
...
...
1
...
1
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
V
214
ko’rinishidagi determinantga aytiladi.
U quyidagi formula yordamida hisoblanadi:
.
)
(
)
)...(
)...(
)(
)(
)...(
)(
(
1
1
2
2
4
2
3
1
1
3
1
2
k
i
n
k
i
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
V
Ba’zi determinantlarni Vandermond determinantiga olib kelish yo’li bilan
hisoblash mumkin.
11-m i s o l. Vandermond determinantiga keltirish yo’li bilan determinantni
hisoblang.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
d
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
...
...
...
...
...
...
...
...
.
Yechish.
Determinant belgisi ostidan
n
n
n
n
1
2
1
,...,
,
ko’paytuvchilarni mos
ravishda birinchi, ... , (
n
+1)-satrlardan chiqaramiz. Natijada Vandermond
determinantini hosil qilamiz:
215
j
i
j
j
i
i
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
d
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
...
...
1
...
...
...
...
...
1
...
1
...
.
)
(
...
1
2
1
j
i
j
i
j
i
i
j
j
i
j
i
i
j
n
n
n
n
■
12-m i s o l. Vandermond determinantiga
)
1
1
(
...
...
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
...
...
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
1
n
p
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
d
n
n
p
n
p
n
n
n
n
p
p
n
p
p
ko’rinishdagi determinantni ham keltirish mumkin.
n
x
x
x
,...,
,
2
1
elementlarning
n-p
tadan olingan barcha ko’paytmalaridan tuzilgan
yig’indini
s
n-p
bilan,
d
n
bilan shu elementlardan tuzilgan Vandermond determinantini
belgilasak,
n
p
n
d
s
d
tenglik o’rinlidir.
Minorlar va ularning algebraik to’ldiruvchilari.
Laplas teoremasi
n-tartibli
d
determinantning
k-tartibli
(1
≤ k ≤ n
)
minori
deb
d
determinantning
k
ta ixtiyoriy satrlari va
k
ta ixtiyoriy ustunlarning kesishgan joyida
turgan elementlardan tuzilgan
M
determinantga aytiladi. Xususiy holda
d
ning
n
-
216
tartibli minori
d
ning o’ziga teng. Nolinchi tartibli minor ta’rifiga ko’ra 1 ga teng deb
qabul qilinadi.
d
determinantning
M
minorida turgan
k
ta
satr va
k
ta
ustunlarni
o’chirish natijasida hosil bo’lgan
'
M
minorga
d
determinantning
M
minorining
to’ldiruvchi minori
deyiladi.
d
determinantning
M
minorining
algebraik
to’ldiruvchisi
deb,
M
minor turgan satr va ustun nomerlari yig’indisi juft bo’lganda
plyus ishora bilan toq bo’lganda minus ishora bilan olinadigan to’ldiruvchi
'
M
minorga aytiladi.
Laplas teoremasi.
d
determinantning qandaydir
k
-ta satri (yoki qandaydir
k
ta
ustuni) tanlangan bo’lsin.
n
(1
≤ k ≤ n –
1). Agar shu satrlarda (yoki ustunlarda)
joylashgan barcha
k
-tartibli minorlarni ularning algebraik to’ldiruvchilariga mos
ravishda ko’paytirib, bu ko’paytmalar qo’shilsa,
d
determinant hosil bo’ladi.
1-m i s o l. Determinantni hisoblang:
0
7
0
6
4
3
4
2
5
1
1
2
5
4
3
0
5
0
4
3
5
3
4
1
2
d
.
Yechish.
Ikkinchi va beshinchi satrlardagi ikkinchi tartibli o’nta minorlardan
faqat uchtasi noldan farqli. Shu satrlar bo’yicha yoyamiz:
3
2
1
1
5
3
5
4
2
7
6
5
4
)
1
(
1
2
5
1
5
4
5
4
1
7
4
5
3
)
1
(
3
4
2
1
2
5
5
3
4
6
4
4
3
)
1
(
18
12
10
d
.
4
)
1
(
2
)
100
(
1
49
2
■
Xususiy holda, agar
d
determinantning bosh diagonalini umumiy elementlarga
ega bo’lmagan kvadrat matritsalar yordamida qoplash mumkin bo’lib, ularning
217
determinantlari
d
1
va
d
2
bo’lsa, va ularning bir tomonida hamma elementlar nolga teng
bo’lsa, u holda
d = d
1
d
2
bo’ladi.
2-m i s o l.
.
728
)
28
(
26
9
8
8
4
7
3
3
5
9
8
7
3
8
4
2
3
0
0
7
3
0
0
3
5
■
Zinapoyali determinantlar
deb ataluvchi umumiy holda, ya’ni
d
determinantning bosh diagonalida determinantlari
d
1
, d
2
, ..., d
k
, ga teng bo’lgan
kvadrat matritsalar ketma-ket turgan bo’lib, bu ketma-ket matritsalar bir tomonidagi
barcha elementlar nolga teng bo’lsa, u holda
d = d
1
∙ d
2
∙ ∙ ∙ d
k
bo’ladi.
3-m i s o l.
.
14848
)
13
(
18
8
9
1
2
5
3
3
2
3
4
8
2
1
5
7
1
2
3
4
1
3
7
5
3
2
5
2
1
1
0
0
3
2
7
5
4
0
0
3
4
1
3
2
0
0
0
0
8
1
7
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
5
7
■
Ba’zi hollarda avval determinantda almashtirishlar bajarib, so’ng Laplas
teoremasini qo’llash qulaydir.
4-m i s o l. Determinantni hisoblang:
3
4
5
6
2
2
1
4
2
3
3
2
9
4
6
7
8
7
2
4
5
4
3
1
2
d
.
218
Yechish.
Ikkinchi satrdan ikkilangan birinchi satrni ayiramiz, uchinchi satrga
ikkilangan to’rtinchi satrni qo’shamiz. Natijada,
3
4
5
6
2
2
1
4
2
3
1
0
1
0
0
3
0
1
0
0
5
4
3
1
2
d
ni hosil qilamiz.
Determinantni ikkinchi va uchinchi satrlar bo’yicha yoyib, quyidagini hosil
qilamiz:
.
84
42
)
1
(
2
4
6
2
1
2
3
4
1
2
)
1
(
1
1
3
1
5
3
3
2
d
■
Determinantlarni ko’paytirish
Bir xil
n-
tartibli
n
ij
a
A
1
)
det(
det
va
n
ij
b
B
1
)
det(
det
determinantlarning
ko’paytmasi deb, xuddi shu tartibli va barcha elementlari quyidagi to’rtta
formulalarning
1)
jn
in
j
i
j
i
i
ij
b
a
b
a
b
a
c
.......
2
2
1
;
2)
;
.......
2
2
1
1
nj
in
j
i
j
i
ij
b
a
b
a
b
a
c
;
3)
;
.......
2
2
1
1
jn
ni
j
j
j
i
ij
b
a
b
a
b
a
c
4)
;
.......
2
2
1
nj
ni
j
j
ij
i
ij
b
a
b
a
b
a
c
biri orqali hisoblanadigan
n
ij
c
C
1
)
det(
det
determinantga yatiladi. Birinchi holda
c
ij
element
detA
determinantning
i
-satri elementlarini mos ravishda
detB
determinantning
j
-satri elementlariga ko’paytirib, hosil bo’lgan ko’paytmalarni
219
qo’shish natijasida hosil qilinadi. Bu holda ko’paytma birinchi determinant satrlarini
ikkinchi determinant satrlariga ko’paytirishdan, ikkinchi holda satrlarni ustunlarga
ko’paytirishdan, uchinchi holda ustunlarni satrlarga, to’rtinchisida ustunlarni
ustunlarga ko’paytirishdan hosil qilingan deyiladi. Bu to’rt holda
detC=detA
detB
ning
c
ij
elementlari har xil bo’lgani bilan
detC
determinantning qiymati bir xildir.
1-m i s o l.
1
3
1
3
4
1
2
5
2
va
1
2
3
3
2
1
4
0
1
2
1
d
d
Do'stlaringiz bilan baham: |
