|
3.1-jadval.
k
x
k
y
k
X
X
k
2
1
/
k
k
X
X
0
2,000000000
2,000000000
1,414213562
-
1
1,693548387
0,890322581
0,702167004
0,351
2
1,394511613
0,750180529
0,466957365
0,947
3
1,192344147
0,82284086
0,261498732
1,199
4
1,077447418
0,918968807
0,112089950
1,639
5
1,022252471
0,976124950
0,032637256
2,598
6
1,002942200
0,996839728
4,317853366E-3
4,054
7
1,000065121
0,999930102
9,553233627E-5
5,124
8
1,000000033
0,999999964
4,871185259E-8
5,337
9
1,000000000
1,000000000
1,272646866E-14
5,363
Jadvalning oxirgi ustunidagi sonlar usulning kvadratik yaqinlashishga ega ekan-
ligini tasdiqlaydi. Haqiqatan ham,
2
1
k
k
C
X
X
bog‘lanish ildizning yetarlicha
yaqin atrofida o‘rinli, bunda C o‘zgarmas esa yetarlicha katta:
C
5,4.
Agar tenglamalar sistemasida tenglamalar soni ko‘payib borsa, u holda Yakob
matritsasini hisoblashning qiyinlashishi hisobiga Nyuton usulining hisoblash samara-
dorligi pasayib borishini ko‘rishimiz mumkin. Agar bir o‘lchovli holatni qaraydigan
bo‘lsak, u yerda
f
(
x
) va
f
(
x
) larni hisoblash qiyinchiligi deyarli bir xil.
N
o‘lchovli
holda esa
f
i
(
x
) larni hisoblash uchun
n
2
ta hisoblashlarni bajarish talab etiladi, bu esa
f
i
(
x
) larni
n
marta hisoblashga hisbatan bir necha marta qiyin demakdir.
2-Misol.
Quyidagi
0
4
,
0
1
2
,
3
2
3
y
xy
y
x
G
y
x
y
x
F
sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang.
Yechish.
Grafik usulda yoki tanlov yo‘li bilan dastlabki yaqinlashish
7
,
1
2
,
1
0
0
y
x
aniqlangan bo‘lsin. U holda
116
1
3
2
6
,
2
3
2
0
0
xy
y
y
x
y
x
J
, demak
910
,
97
40
,
9
91
,
4
40
,
3
64
,
8
7
,
1
;
2
,
1
J
(12) formulaga ko‘ra
.
6610
,
1
0390
,
0
7
,
1
1956
,
0
91
,
4
434
,
0
64
,
8
91
,
97
1
7
,
1
;
2349
,
1
0349
,
0
2
,
1
40
,
9
1956
,
0
40
,
3
434
,
0
91
,
97
1
2
,
1
1
1
y
x
Hisoblashlarni shu singari davom qilib,
6615
,
1
;
2343
,
1
2
2
y
x
ni topamiz va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz.
Ushbu
misolda
berilgan
tenglamalar sistemasi bitta haqiqiy
yechimga ega ekanligini quyidagi
Maple
dastur
va
grafiklardan
ko‘rish mumkin (3-rasm):
> plots[implicitplot]({2*x^3-y^2-
1=0,x*y^3-y-4=0},x=-2..2,y=-3..3);
solve({2*x^3-y^2-1=0,x*y^3-y-
4=0},{x,y});
allvalues(%); evalf(%);
{
}
,
x
1.234274484
y
1.661526467
3-misol.
Quyidagi
nochiziqli
tenglamalar
sistemasini
Nyuton
usulida taqribiy yeching:
3-rasm. Misolda berilgan tenglamalar siste-
masidagi funksiyalarning Maple dasturida
chizilgan grafiklari.
;
1
2
;
5
,
0
3
2
1
2
2
2
1
x
x
x
x
;
0
1
2
)
,
(
;
0
5
,
0
3
)
,
(
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
.
1
;
5
,
0
)
0
(
2
)
0
(
1
x
x
Yechish:
,
,
3
2
,
1
1
1
2
2
2
1
2
2
1
1
x
x
f
x
x
f
x
f
x
f
,
67
.
0
)
,
(
2
)
0
(
2
)
0
(
1
1
x
x
x
f
,
5
.
0
)
,
(
1
)
0
(
2
)
0
(
1
2
x
x
x
f
.
87
.
1
)
,
(
,
67
.
0
)
,
(
)
0
(
2
)
0
(
1
2
)
0
(
2
)
0
(
1
1
x
x
f
x
x
f
117
,
36
.
2
)
,
(
,
53
.
1
)
,
(
;
3
.
2
;
36
.
2
;
12
.
1
5
.
0
;
84
.
0
67
.
0
;
87
.
1
)
1
(
1
)
5
.
0
(
5
.
0
;
67
.
0
)
1
(
67
.
0
)
5
.
0
(
1
1
)
1
(
2
)
1
(
1
2
2
)
1
(
2
)
1
(
1
1
)
1
(
2
)
1
(
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
.
4
)
,
(
,
6
.
3
)
,
(
)
1
(
2
)
1
(
1
2
)
1
(
2
)
1
(
1
1
x
x
f
x
x
f
,
ya’ni
.
66
.
2
}
)
3
.
2
67
.
0
(
,
)
36
.
2
26
.
1
max{(
;
67
.
0
,
26
.
1
;
7
.
3
36
.
2
;
28
.
2
53
.
1
;
2
.
4
)
3
.
2
(
1
)
36
.
2
(
36
.
2
;
6
.
3
)
3
.
2
(
53
.
1
)
36
.
2
(
1
2
2
2
)
2
(
2
)
2
(
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi ikkita haqiqiy yechimga ega
ekanligini quyidagi Maple dasturidan ko‘rish mumkin:
>
fsolve
({
x
y
^2/3 =
0.5,
x
^2/2+
y
= 1}, {
x
,
y
});
allvalues
(%);
{
x
= 2.895363758,
y
=
3.191565646}
{
x
=
0.1770315380,
y
= 0.9843299173}
3.3. Takomillashtirilgan Nyuton usuli
Nyuton hisob jarayoni (3.3) ni qurishda har bir qadamda teskari matritsa
)
(
1
k
x
W
ni hisoblash zarurati noqulaylik tug‘diradi.
Agar
x
W
1
matritsa izlanayotgan
x
*
yechimning atrofida uzluksiz va
boshlang‘ich yaqinlashsh
x
0
izlanayotgan
x
*
yechimga yetarlicha yaqin bo‘lsa, u
holda taqriban ushbu
)
0
(
1
)
(
1
x
W
x
W
k
tenglikni o‘rinli deb qabul qilish yoki bu teskari matritsani bir qancha qadamlardan
keyin qayta hisoblash mumkin. Bu esa iteratsion jarayonlardagi hisoblashlarni ka-
maytirib, quyidagi
takomillashtirilgan Nyuton usuli
formulasini vujudga keltiradi:
)
(
)
0
(
1
)
(
)
1
(
k
k
k
x
f
x
W
ξ
ξ
,
0,1, 2,
k
,
0
0
x
. (3.14)
Shuni ta’kidlaymizki, (3.13) va (3.14) jarayonlar uchun dastlabki yaqinlashishlar
x
(1)
va
ξ
(1)
o‘zaro mos keladi, ya’ni
x
(1)
=
ξ
(1)
.
Takomillashtirilgan Nyuton usulining algoritmi (blok-sxemasi 3.4-rasmda tas-
virlangan):
1.
x
(0)
boshlang‘ich yaqinlashish aniqlanadi.
2.
)
0
(
1
x
W
matritsani hisoblaymiz.
3. (3.14) formula yordamida ildizni aniqlashtiramiz.
4. Agar (3.13) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo‘ladi va
x
(
k
+1)
(3.1
)
vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda 3-qadamga o‘tiladi.
Agar Yakob matritsasidagi hosilalarni hisoblash murakkab yoki uni analitik yo‘l
bilan hisoblash mumkin bo‘lmasa, u holda Nyuton usulini qo‘llash murakkablashadi.
118
Bunday holda oldingi qadamdagi iteratsiyadan olingan yaqinlashishdan foydalanib,
xususiy hosilalar chekli ayirmalarga almashtirilib approksimatsiyalanadi, masalan,
)
(
k
j
x
nuqtada chap ayirma bilan hosilani ikki nuqtali approksimatsiyalash formulasi
quyidagicha yoziladi:
h
x
h
x
x
x
x
x
f
x
f
k
n
k
j
k
i
k
n
k
j
k
i
j
i
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
,...,
,...,
,...,
,...,
.
Ana shu yo‘l bilan hisoblangan hosila qiymat-
larini Nyuton formulasidagi Yakob matritsasini
hisoblashga qo‘llab, iteratsion jarayonlar hisobini
osonlashtirish mumkin. Ammo bunda Yakob matrit-
sasi yomon shartlangan bo‘lib qolishi ehtimolligi
mavjud. Shuni alohida ta’kidlaymizki, Yakob matrit-
sasining analitik ifodasidan foydalanish hisoblashlar
va dasturlash jarayonini ancha osonlashtiradi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
