|
ε
x
f
x
f
ε
x
f
(3.4)
(3.4) formuladan kelib chiqadiki,
)
(
x
f
hosila deb
1
2
,
,
,
n
x x
x
o‘zgaruvchilarga nisbatan
1
2
,
,
,
n
f f
f
funksiyalar sistemasining quyidagi Yakob
matritsasi tushuniladi:
)
(
x
f
=
W
(
x
) =
n
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
,
yoki uni qisqacha vektor shaklida yozsak,
)
(
x
f
=
W
(
x
) =
j
i
x
f
, ,
1,
i j
n
.
(3.4) sistema bu xatolikni tuzatuvchi had
)
(
k
i
1,
i
n
larga nisbatan
W
(
x
)
matritsali chiziqli sistema. Bundan (3.4) formulani quyidagicha yozish mumkin:
.
0
)
(
)
(
)
(
k
k
k
ε
x
W
x
f
Bu yerdan,
)
(
k
x
W
maxsus bo‘lmagan matritsa deb faraz qilib, quyidagiga ega
bo‘lamiz:
)
(
)
(
1
)
(
k
k
k
x
f
x
W
ε
.
Natijada ushbu
)
(
)
(
1
)
(
)
1
(
k
k
k
k
x
f
x
W
x
x
,
0,1, 2,
k
.
(3.5)
112
Nyuton usuli
formulasiga kelamiz, bunda
x
(0)
nolinchi yaqinlashish sifatida izla-
nayotgan ildizning qo‘pol qiymatini olish mumkin.
Amaliyotda (3.1
) nochiziqli tenglamalar sistemasini bu usul bilan yechish
uchun hisoblashlar (3.5) formula bo‘yicha quyidagi shart bajarilgunga qadar davom
ettiriladi:
)
(
)
1
(
k
k
x
x
. (3.6)
Yuqoridagilardan kelib chiqib, Nyuton usulin-
ing algoritmini quyidagicha yozamiz:
1.
x
(0)
boshlang‘ich yaqinlashish aniqlanadi.
2. Ildizning qiymati (3.5) formula bo‘yicha
aniqlashtiriladi.
3. Agar (3.6) shart bajarilsa, u holda masala
yechilgan bo‘ladi va
x
(
k
+1)
(3.1
) vektor
tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks
holda esa 2-qadamga o‘tiladi.
Hisoblashlarda (3.1
) nochiziqli tenglamalar
sistemasining
f
(
x
) funksiyalari va ularning hosilalari
matritsasi
W
(
x
) aniq berilgan geymiz, u holda bu
sistemani yechishning blok-sxemasi 3.2-rasmdagi
ko‘rinishda bo‘ladi.
f
(
x
) vektor-funksiya
x
ildizi atrofida ikki mar-
tagacha uzluksiz differensiallanuvchi, Yakob matrit-
sasi
W
(
x
) maxsus bo‘lmagan (aynimagan), ko‘p
o‘lchovli Nyuton usuli kvadratik yaqinlashishga ega:
3.2-rasm. Nochiziqli
tenglamalar sistemasini
yechish uchun Nyuton usu-
lining algoritmi.
2
)
(
)
1
(
x
x
x
x
k
k
C
.
Shuni ta’kidlaymizki, usulning yaqinlashishini ta’minlash uchun boshlang‘ich
yaqinlashishni muvaffaqiyatli tanlash muhim ahamiyatga ega. Tenglamalar sonining
oshishi va ularning murakkabligi ortishi bilan yaqinlashish sohasi torayib boradi.
Xususiy hol.
Hisoblash amaliyotida
n
=2 bo‘lgan hol ko‘p uchraydi. Buni, masa-
lan,
f
(
z
)=0 nochiziqli tenglamaning kompleks ildizlarini topishda ham ko‘rish mum-
kin. Haqiqatan ham, agar ushbu
jy
x
f
y
x
f
Re
)
,
(
1
va
jy
x
f
y
x
f
Im
)
,
(
2
funksiyalarni kiritsak,
z
- kompleks ildizning
x
– haqiqiy qismi va
y
– mavhum qismi
quyidagi ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy
yechishdan hosil bo‘ladi:
,
0
)
,
(
;
0
)
,
(
2
1
y
x
f
y
x
f
(3.7)
113
bu taqribiy hisoblashni Nyuton usuli yordamida
aniqlik bilan bajaraylik.
D
sohaga tegishli
)
,
(
0
0
0
y
x
X
- nolinchi yaqinlashishni tanlab olamiz. (3.4)
dan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tuzib olamiz:
).
,
(
)
(
)
(
);
,
(
)
(
)
(
0
0
2
0
2
0
2
0
0
1
0
1
0
1
y
x
f
y
y
y
f
x
x
x
f
y
x
f
y
y
y
f
x
x
x
f
(3.8)
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
0
0
0
0
,
y
y
y
x
x
x
.
(3.9)
(3.8) sistemani
0
0
,
y
x
larga nisbatan, masalan, Kramer usuli yordamida
yechamiz. Kramer formulalarini quyidagicha yozamiz:
,
,
2
0
1
0
J
y
J
x
(3.10)
bu yerda (8) sistemaning asosiy determinanti quyidagicha:
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
2
0
0
1
0
0
2
0
0
1
y
y
x
f
y
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
J
,
(3.11)
(3.8) sistemaning yordamchi determinantlari esa quyidagicha:
y
y
x
f
y
y
x
f
y
x
f
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
2
0
0
1
0
0
2
0
0
1
1
;
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
2
0
0
2
0
0
1
0
0
1
2
y
x
f
x
y
x
f
y
x
f
x
y
x
f
.
0
0
,
y
x
larning topilgan qiymatlarini (3.9) ga qo‘yib, (3.8) sistemaning
)
,
(
1
1
1
y
x
X
- birinchi yaqinlashishi komponentalarini topamiz:
0
0
1
0
0
1
,
y
y
y
x
x
x
. (3.12)
Quyidagi shartning bajarilishini tekshiramiz:
)
,
max(
0
0
y
x
.
(3.13)
Agar bu shart bajarilsa, u holda
)
,
(
1
1
1
y
x
X
birinchi yaqinlashishni (3.8) sisteman-
ing taqribiy yechimi deb, hisoblashni to‘xtatamiz. Agar (3.13) shart bajarilmasa, u
holda
1
0
x
x
,
1
0
y
y
deb olib, yangi (3.8) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini
tuzamiz. Uni yechib,
)
,
(
2
2
2
y
x
X
- ikkinchi yaqinlashishni topamiz. Topilgan
yechimni
ga nisbatan (3.13) bo‘yicha tekshiramiz. Agar bu shart bajarilsa, u holda
(3.8) sistemaning taqribiy yechimi deb
)
,
(
2
2
2
y
x
X
ni qabul qilamiz. Agar (3.13)
shart bajarilmasa, u holda
2
1
x
x
,
2
1
y
y
deb olib,
)
,
(
3
3
3
y
x
X
ni topish uchun
114
yangi (3.8) sistemani tuzamiz va hokazo. Bu sistemani yechishning blok-sxemasi 3.3-
rasmda tasvirlangan.
3.3-rasm. Ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini
taqribiy yechishning Nyuton usuli blok-sxemasi.
1-misol.
Ushbu
0
2
,
0
1
,
2
2
3
5
1
y
y
x
y
x
f
xy
y
x
y
x
f
tenglamalar sistemasining nolinchi yaqinlashishni
)
,
(
0
0
0
y
x
X
= (2; 2) deb olib,
uning aniq yechimi
)
,
(
y
x
X
= (1; 1) ni Nyuton usuli yordamida aniqlang.
115
Yechish.
Misolning yechimi jarayonini, iteratsiyalardagi yaqinlashishlarni
)
,
(
k
k
k
y
x
X
, orttirmalarni esa
)
,
(
k
k
k
y
x
X
deb, quyidagi jadval shaklida
ifodalaylik (3.1-jadval). Bu natijalar shuni ko‘rsatadiki, iteratsion jarayon juda tez
yaqinlashadi – verguldan keyin ettita raqamgacha aniqlikdagi yechimga sakkista iter-
atsiyadan keyin erishilgan. Agar berilgan tenglamalar sistemasini
9
,
0
0
,
0
0
,
0
032
,
0
B
boshlang‘ich yaqinlashish bilan iteratsiya usuli bilan yechsak, u holda taqqos-
lanayotgan xatolik bilan olingan yechimga 247 ta iteratsiyadan keyin erishiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
