|
3.4. Nyuton-Rafson usuli
Bu usul nochiziqli tenglamalar sistemasini
yechish uchun Nyuton usulining takomillashtirilgan
variantlaridan biri hisoblanadi.
Faraz qilaylik, (3.1) yoki (3.1
) nochiziqli teng-
lamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Iteratsion formulani
3.5-rasm. Nyuton usuli mo-
difikatsiyasining algoritmi.
hosil qilishimiz uchun
f
= (
1
2
,
,
,
n
f
f
f
) vektor-funksiya komponentalari bo‘lgan
1
2
,
,
,
n
f f
f
funksiyalarning Teylor qatoriga yoyilmasining ularning birinchi tarti-
bligacha hosilasini o‘z ichiga olgan hadlari bilan cheklangan holini olamiz:
.
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
,
0
...
,
0
...
)
1
(
)
(
)
1
(
1
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
2
)
1
(
1
1
)
(
2
)
(
2
)
1
(
)
(
)
1
(
1
1
)
(
)
(
1
1
1
k
n
n
k
n
k
k
n
k
n
k
n
n
k
k
k
k
k
n
n
k
k
k
k
x
x
f
x
x
f
f
x
x
f
x
x
f
f
x
x
f
x
x
f
f
Bu yerda
)
...,
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
k
k
k
j
k
j
n
x
x
x
f
f
;
)
(
)
1
(
)
1
(
k
j
k
j
k
j
x
x
x
, (
j
=1,…
n
).
Bu tenglamalar sistemasini matritsa ko‘rinishida quyidagicha yozish mumkin:
119
)
(
)
(
2
)
(
1
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
)
(
2
)
(
1
)
(
)
(
2
)
(
2
1
)
(
)
(
2
)
(
1
1
)
(
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
2
1
1
k
n
k
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
n
k
k
k
n
k
k
k
f
f
f
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
n
n
yoki buni belgilashlar bilan soddaroq qilib quyidagicha yozish ham mumkin:
)
(
)
1
(
)
(
k
k
k
f
x
W
.
Bu yerda ham xuddi yuqoridagidek,
W
=
W
(
x
) – Yakob matritsasi.
Bu chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechib,
)
1
(
k
x
ni aniqlaymiz:
)
1
(
)
(
)
1
(
k
k
k
x
x
x
.
Bu usulning algoritmi quyidagicha:
1.
x
(0)
- boshlang‘ich yaqinlashish va
- hisob aniqligi beriladi.
2.
i
f
, (
i
=1,2,…,
n
) shart bajarilsa 6-qadamga o‘tiladi.
3.
W
– Yakob matritsasi hisoblanadi.
4.
W
x
= –
f
tenglamalar sistemasi yechiladi.
5.
x=x+
x
hisoblanadi va 2-qadamga o‘tiladi.
6.
x
natijalar pechatga chiqariladi.
Nyuton-Rafson usulining nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga qo‘lla-
nilishidagi asosiy shart bu Yakob matritsasining teskarisini hisoblashning mumkin
yoki mumkin emasligida. Xususan,
W
-1
ning taqribiy qiymatini quyidagicha hisob-
lash mumkin. Faraz qilaylik,
W
-1
– Yakob matritsasining
k
-iteratsiyadagi teskari mat-
ritsasi bo‘lsin. (
k
+1)-iteratsiyadan keyin Yakob matritsasi quyidagicha hisoblanadi:
1
1
1
1
1
k
k
k
k
k
W
W
W
W
W
.
Bu yondashuv hamma vaqt ham aniq emas va u bir qator kamchiliklarga ega.
Ammo amaliyotdagi ko‘plab masalalarda bu oxirgi formula Yakob matritsasini
hisoblashni ancha osonlashtiradi.
3.5. Iteratsiyalar usuli (ketma-ket yaqinlashishlar usuli)
Yuqoridagi (3.1) nochiziqli tenglamalar sistemasi ushbu
)
...,
,
,
(
...
...
...
...
...
...
...
...
),
...,
,
,
(
),
...,
,
,
(
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(3.15)
120
ko‘rinishga keltirilgan bo‘lsin, bu yerda
1
2
,
,
,
n
- haqiqiy funksiyalar bo‘lib,
ular bu sistema izolyatsiyalangan
1
2
,
,
,
n
x x
x
yechimining biror atrofida
aniqlangan va uzluksiz.
Qulaylik uchun quyidagi vektorni kiritamiz:
n
x
x
x
,...,
,
2
1
x
va
)
(
),...,
(
),
(
)
(
2
1
x
x
x
x
n
.
U holda (3.15) ni quyidagi vektor shaklida yozish mumkin:
x
=
φ
(
x
).
(3.16)
(3.16) tenglamaning
1
2
,
,
,
n
x
x x
x
vektor-ildizini topish uchun
ko‘pincha quyidagi
iteratsiyalar usuli
ni qo‘llash juda qulay:
)
(
)
(
)
1
(
k
k
x
x
yoki
),
...,
,
,
(
...
...
...
...
...
...
...
...
),
...,
,
,
(
),
...,
,
,
(
)
(
)
(
2
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
2
)
1
(
)
(
)
(
)
(
1
)
1
(
1
2
1
2
2
1
1
k
k
k
n
k
k
k
k
k
k
k
k
k
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0,1, 2,
k
, (3.17)
bu yerda yuqoridagi indeks iteratsiyalar yaqinlash-
ishi nomerini bildiradi;
*
)
0
(
x
x
- boshlang‘ich
yaqinlashish. Usulning blok-sxemali algoritmi 3.6-
rasmda tasvirlangan. Agar (3.17) iteratsion jarayon
yaqinlashivchan bo‘lsa, u holda ushbu
)
(
lim
k
k
x
(3.18)
limitik qiymat (3.17) tenglamaning ildizi bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, agar (3.18) munosabat ba-
jarilgan desak, u holda (3.17) tenglikda
k
bo‘yicha limitga o‘tib,
x
funksiyalarning
uzluksizligidan quyidagiga ega bo‘lamiz:
)
(
)
1
(
lim
lim
k
k
k
k
x
x
, ya’ni
.
Shunday qilib,
bu (3.16) vektor tenglama-
ning ildizi. Agar, bundan tashqari, barcha
)
(
k
x
0,1,
k
yaqinlashishlar biror
- sohaga
tegishli bo‘lsa, u holda
*
x
ekanligi yaqqol
ko‘rinadi. Soddaroq qilib aytganda, (3.17) iter-
atsion jarayon
)
0
(
x
=
)
0
(
)
0
(
)
0
(
...,
,
,
2
1
n
x
x
x
boshlan-
3.6-rasm. Nochiziqli tengla-
malar sistemasini yechish
uchun iteratsiyalar usulining
blok-sxemali algoritmi.
121
g‘ich yaqinlashishdan boshlanib, bitta iteratsiyadan keyin barcha argumentlar orttir-
masining moduli berilgan
ε
miqdordan kichik bo‘lmaguncha davom ettiriladi, ya’ni
)
(
)
1
(
1
)
(
)
1
(
max
k
i
k
i
n
i
k
k
x
x
x
x
.
Bu shartga teng kuchli bo‘lgan quyidagi shartdan ham foydalanish mumkin:
)
(
)
1
(
2
)
(
)
1
(
k
k
k
k
x
x
x
x
2
)
(
)
1
(
1
max
k
i
k
i
n
i
x
x
Oddiy iteratsiya usuli dasturlash uchun juda qulay, ammo u quyidagi muhim
kamchiliklarga ega:
a
)
1
)
(
q
x
, bu yerda
- vektor-funksiya
ning Yakob matritsasi,
belgi bilan esa matritsa normasi kiritilgan:
)
(
x
n
j
j
i
n
i
x
1
1
max
;
b
)
1
)
(
q
l
x
, bu yerda
- vektor-funksiya
ning Yakob matritsasi,
l
belgi bilan esa matritsa normasi kiritilgan:
l
)
(
x
n
i
j
i
n
j
x
1
1
max
;
c
) agar boshlang‘ich yaqinlashish aniq yechimdan uzoqroq tanlangan bo‘lsa,
a
-
shartning bajarilishiga qaramasdan, usulning yaqinlashishiga kafolat yo‘q;
demak, boshlang‘ich yaqinlashishni tanlashning o‘zi ham sodda emas ekan;
d
) iteratsion jarayon juda sekin yaqinlashadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
