O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti mexanika-matematika fakulteti

5. Bir jinsli bo’lmagan plastinka uchun ikki o’lchovli issiqlik o’tkazuvchanlik 

masalasi 

 

Ichida  ikkita  ulama  material  biriktirilgan  to’g’ri  to’rtburchakli  plastinkada 

issiqlik  uzatilishi  jarayonini  tahlil  qilaylik  (7-rasm).  Tadqiqot  sohasining 

sxemasida  tasvirlangan  o’lchamlar: 

l

1

, 

l

2

, 

l

3

, 

l

4

, 

h

1

, 

h

2

, 

h

3

, 

h

4

  larni  shunday 

tanlaylikki,  plastinka  yuzi  bo’ylab  tuzilgan  to’rning  qadamlari  bir  xil  bo’lsin. 

Bunga  erishish  uchun  dasturda  kiritiladigan  parametrlarda  chiziqli  o’lchamlar 

emas, balki shu kesmani ifodalovchi oraliqlarnigina kiritamiz. 

Rasmda tasvirlangan mis plastinkaning (

1

) o’lchamlari 

L = H

 = 0,5 m. Ulama 

materiallarning xarakteristikalar: (

2

) – po’lat (



2

 = 46 Vt/(m·

0

C); 



2

 = 7800 kg/m

3

; 

c

2

  =  460  J/(kg·

0

C));  (

3

)  –  temir  (



3

  =  71  Vt/(m·

0

C); 



3

  =  7900  kg/m

3

; 

c

3

  =  460 

J/(kg·

0

C)).  

Tadqiqot sohasining vertikal chegaralarida temperatura o’zgarmas:  

x

 = 0  da    

T

h

= 100 

0

C;             

x = L

  da   T

c

 = 0 

0

C . 

Gorizontal chegaralarda adiabatiklik o’rinli. 

 

7-rasm. Tadqiqot sohasi. 

 

Tadqiqot sohasining boshlang’ich sharti:  

---

16 

 

T

0

= 50 

0

C 

Berilganlarga ko’ra masalaning matematik qo’yilishi quyidagicha: 

 

Boshlang’ich va chegaraviy shartlar quyidagicha yoziladi: 

 

 

da 

 

 

da 

 

---

17 

 

 

da 

 

 

da 

 

Bu chegaraviy masalani sonli yechiah uchun yuqorida yechilgan ikki qatlamli 

plastinkada  va  bir  jinsli  to’g’ri  to’rtburchakli  plastinkada  issiqlik  tarqalichi 

masalalarini  yechish  jarayonida  foydalaniladigan  algoritmlardan  bevisita 

foydalanib yechamiz. 

Bu masalni yechishda ham xuddi yuqoridagidek lokal bir o’lchovli sxemadan 

foydalanamiz.  Buning  natijasida  hosil  bo’ladigan  chiziqli  algebraik  tenglamalar 

sistemasini  progonka  usuli  bilan  yechamiz.  Rasmdan  ko’rinib  turibdiki, 

plastinkada  2  ta  birjinslimaslik  holati  mavjud.  Shuning  uchun  approksimatsiya 

sohasining  yacheykasi  qaysi  plastinka  ustiga  tushsa  shu  plastinkaning  mexanik 

xarakteriatikalaridan  foydalaniladi.  Bu  ulanma  plastinkalar  ulanish  chegarasida 

o’zaro qo’shma. 

Bu masalani yechish algoritmi quyidagicha: 

Berilgan  differensial  tenglamani  chekli  ayirmali  tenglamaga  o’tkazish  uchun 

vaqt-fazo bo’yicha quyidagicha koordinatali to’r kiritamiz: 

 

bu yerda 

h

x

, 

h

y

 – mos 

x

, 

y

 koordinatalar bo’yicha to’r qadamlari; 



 - vaqt bo’icha 

qadam; hisob sohasini to’lasincha to’r bilan to’ldiramiz, ya’ni 

 

---

18 

 

 

4.2-rasm.Hisob sohasining ayirmali to’ri. 

 

Izlanayotgan funksiya uchun  

 

belgilash kiritamiz. 

Dastlabki (4.1) differensial tenglamani diskretlashtirishni A.A.Samarskiyning 

bir  o’lchovli  lokal  sxemasi  asosida  amalga  oshiramiz,  bunda  bu  sxema  absolyit 

ustivor  va  yig’indi  approksimatsiya  xossasiga  ega.  Bu  sxemaning  mazmuni 

shundan iboratki, vaqt bo’yicha qadam ikki bosqichda amalga oshiriladi: vaqtning 

oraliq qadamida (4.1) tenglamani faqat 

x

 o’qi yo’nalishida diskretlashtiramiz va bir 

o’lchovli  tenglamaga  kelamiz;  undan  keyin  (4.1)  tenglamani  yana 

diskretlashtiramiz,  endi  buni  faqat  y  o’qi  yo’nalhida  bajaramiz  va  yana  bir 

o’lchovli tenglamani hosil qilamiz, keyin esa vaqtning to’la qadamida temperatura 

maydonini anilaymiz. 

Dastlab  tadqiqot  sohasining  plastinka  birjinsli  bo’lgan  sohalari  uchun, 

masalan,  

 

uchun ushbu 

---

19 

 

 

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechiladi. Xuddi shunday qilib har bir soha 

uchun  ikki  qatlamli  plastinkada  bir  o’lchovli  issiqlik  o’tkazuvchanlik  tenglamasi 

yechilib boriladi. 

Muhitlarning ushbu tutash chegaralarda  

 

esa ularning teplofizik parametrlari o’rta qiymati olinadi: 

 

Shu bilan birga bu chegaraning 

 

nuqtasidan o’ng tarafda muhit 

 

parametrli, chap tarafida esa 

 

parametrli deb qaraladi. 

Shundan keyin ushbu 

 

tenglamalar sistemasini yechishga o’tiladi. 

Chekli ayirmali approksimatsiyadan keyingi tenglamani progonka usuli bilan 

yechishni  qarab  chiqaylik.  Buning  uchun  bu  tenglamani  quyidagi  ko’rinishga 

keltiramiz: 

 

---

20 

 

Bu tenglamaning koeffisiyentlari 

A

i

, 

B

i

, 

C

i

lar quyidagicha topiladi: 

 

Ushbu 

 

progonka  koeffisiyentlarini  aniqlash  uchun  avvalo  chap  chegaraviy  shardan  α

1

  va 

β

1

 larni aniqlaymiz. Bular asosida esa qolgan koeffisiyentlar topiladi: 

 

Undan  keyin 

  -  o’ng  chegaraviy  shartdan  topiladi;  vaqtning  yarimqatlamida 

 - temperatura maydoni topiladi.  

Masalani sonli yechishning algoritmi va dasturi quyida keltirilgan.