О‘zbekiston respublikasi oliy va о‘rta maxsus ta’lim vazirligi «Oliy matematika»

MAVZU:RATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH.

Ikki ko’phadning nisbati kasr-ratsional funksiya yoki ratsional kasr deyiladi:

.

Agar bo’lsa, u holda ratsional kasr to’g’ri, bo’lganda ratsional kasr noto’g’ri kasr deyiladi

ratsional kasr noto’g’ri kasr bo’lganda kasrning suratini uning maxrajiga bo’lib kasrni

ko’rinishga keltiriladi, bunda -ko’phad, to’g’ri kasr.

Ushbu

to’g’ri ratsional kasrni qaraymiz. Kasrning maxraji

ko’rinishdagi ko’paytuvchilarga ajratishdan foydalanib ratsional kasrni elementar kasrlar yig’indisi shaklida yoziladi.

To’g’ri ratsional kasrning eng sodda ratsional kasrlar yig’indisiga yoyilmasida A_i , B_i koeffitsientlarni aniqlash uchun turli xil usullar mavjud. Ulardan noma‘lum koeffitsientlar usuli bilan misollarda tanishamiz.

Misol. integralni hisoblang.

Yechish. Integral ostidagi funksiya kasr-ratsional funksiya bo’lib, u noto’g’ri kasrdir. Bu kasrning suratini uning maxrajiga bo’lib kasrning butun qismini ajratamiz:

_

_

Endi to’g’ri kasrni eng sodda ratsional kasrlarga yoyamiz:

(a)

Bu yerdagi bir xil darajali x lar oldidagi koefitsiyentlarni tenglashtirib

sistemaga ega bo’lamiz. Sistemani yechib ekanini topamiz. Noma’lum koefitsiyentlarning topilgan qiymatlari (a) qo’yib quyidagini hosil qilamiz.

Demak,

bo’ladi.