O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti mustaqil ish ta’lim yo’nalishi: Matematika va informatika Guruh mi/S5101 Talabaning F

3-tasdiq. Har qanday transpozitsiya o’rin almashtirishning juft-toqligini o’zgartiradi.Isboti.O’rin almashtirish
. . . i , j , . . .
ko’rinishda bo’lsin.(Bu yerdagi ko’p nuqtalar transpozitsiyada tegilmaydigan simvollarni bildiradi.) Transpozitsiya bu o’rin almashtirishni
. . . j , i , . . .
o’rin almashtirishga aylantiradi, shu bilan birga, ravshanki, har ikkila o’rin almashtirishda i, j simvollarni har qaysisi o’z o’rnida qolgan simvollar bilan bir xil inversiya tashkil etadi.
Agar i va j simvollar avval inversiya tashkil etmagan bo’lsa, u holda yangi o’rin almashtirishda bitta inversiya poydo bo’ladi, inversiyalar soni bittaga ortadi.
Agar ular avval inversiya tashlik etgan bo’lsa,u holda transpozitsiyadan keyin bitta inversiya yo’qoladi, inversiyalar soni bittaga kamayadi.
Demak, har ikkila holda ham inversiyaning juft-toqligi o’zgaradi. Endi transpozitsiyalanayotgan i va j simvollar orasida s ta s > 0) simvol joylashgan bo’lsin, ya’ni o’rin almashtirish quyidagi ko’rinishda ega bo’lsin:
. . . , i , k₁ , k₂ ,.... k_s , j , . . . (2)
i va j simvollarni trabspozitsiyasini qo’shni elementlarning transpozitsiyasini 2s+1 marta ketma-ket bajarish natijasida hosil qilish mumkin.Bular i va k₁ simvolning, sungra i va k₂ simvolning va hakazo i simvol k_s simvolni o’rnini egallaguncha bo’ladigan s ta transpozitsiyadir.Sungra esa i va j simvollarni transpozitsiyalaymiz va oxirida j simvolni k -lar bilan transpozitsiyalaymiz, bu transpozitsiyalar yana s ta bo’ladi.Shundan sung j simvol i simvol o’rnini egallaydi va k_i simvollar esa o’zlarini eski o’rinlariga qaytib keladi,ya’ni (2) o’rin almashtirish quyidagi ko’rinishga keladi:
. . . . , j , k₁ , k₂ ,.... k_s , i , . . . (3)

Birinchi qatorni va bitta ustunni o'chirishda biz bitta elementni o'z ichiga olgan matritsani olamiz, shuning uchun

Ushbu qiymatlarni o'ng tomonga almashtirib, biz ikkinchi darajali determinantni hisoblash formulasini olamiz.

Ikkinchi tartibning determinanti asosiy diagonaldagi elementlarning ko‘paytmasi bilan yon diagonaldagi elementlarning ko‘paytmasi orasidagi ayirmaga teng (2.1-rasm).

Uchinchi tartibli determinant uchun bizda bor Birinchi qatorni va bitta ustunni o'chirishda biz ikkinchi tartibli kvadrat matritsalarning determinantlarini olamiz:
Ushbu ikkinchi tartibli determinantlarni (2.2) formula bo'yicha yozamiz va uchinchi tartibli determinantni hisoblash formulasini olamiz.

Aniqlovchi (2.3) olti hadning yig'indisi bo'lib, ularning har biri turli satrlarda va turli ustunlarda joylashgan aniqlovchining uchta elementining mahsulotidir. Bundan tashqari, uchta atama ortiqcha belgisi bilan, qolgan uchtasi esa minus belgisi bilan olinadi.
Formulani (2.3) eslab qolish uchun uchburchaklar qoidasi qo'llaniladi: asosiy diagonalda va yon tomoni asosiy diagonalga parallel bo'lgan ikkita uchburchakning uchlarida uchta elementning uchta mahsulotini qo'shishingiz kerak (2.2-rasm, a), va yon diagonallarda va yon diagonalga parallel bo'lgan ikkita uchburchakning tepalarida elementlarning uchta mahsulotini ayirish (2.2.6-rasm).

Rasmda ko'rsatilgan hisoblash sxemasidan ham foydalanishingiz mumkin. 2.3 (Sarrus qoidasi): o'ngdagi matritsaga birinchi va ikkinchi ustunlarni belgilang, ko'rsatilgan oltita satrning har biridagi elementlarning mahsulotini hisoblang, so'ngra ushbu mahsulotlarning algebraik yig'indisini toping, elementlarning mahsuloti esa asosiy diagonalga parallel chiziqlar ortiqcha belgisi bilan olinadi va yon diagonalga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlardagi elementlarning mahsuloti minus belgisi bilan (2.3-rasmdagi yozuvga muvofiq).

N> 3 tartibli determinantlarni hisoblash.Shunday qilib, biz ikkinchi va uchinchi tartiblarning determinantlarini hisoblash uchun formulalarni oldik. Siz (2.1) formuladan foydalanib hisob-kitoblarni davom ettirishingiz va to'rtinchi, beshinchi va boshqalarning determinantlarini hisoblash uchun formulalarni olishingiz mumkin. buyurtmalar. Shuning uchun induktiv ta'rif har qanday tartibdagi determinantni hisoblash imkonini beradi. Yana bir narsa shundaki, formulalar noqulay va amaliy hisob-kitoblar uchun noqulay bo'ladi. Shuning uchun yuqori tartibli determinantlar (to'rtinchi va undan ko'p), qoida tariqasida, determinantlarning xususiyatlaridan kelib chiqqan holda hisoblanadi.
2.1-misol. Determinantlarni hisoblang

Yechim. (2.2) va (2.3) formulalar bo'yicha topamiz;

Determinantni qator (ustun) elementlari bo'yicha kengaytirish formulasi Tartibning kvadrat matritsasi berilgan bo'lsin.Qo'shimcha kichik element matritsadan o'chirish yo'li bilan olingan tartibli matritsaning determinanti deb ataladi. i-chi qator va j-ustun.Matritsa elementining algebraik to'ldiruvchisi bu elementning qo'shimcha minoriga ko'paytiriladi.
Teorema 2.1 - determinantni qator (ustun) elementlari bo'yicha kengaytirish formulasi. Matritsaning determinanti elementlarning mahsuloti yig'indisiga teng ixtiyoriy qator(ustun) algebraik to'ldiruvchilari bo'yicha:
(i-qatorda parchalanish);
1. Formulani isbotlash matematik induksiya usuli bilan amalga oshiriladi.
2. Induktiv ta'rifda (2.1), aslida, birinchi qatorning elementlari bo'yicha determinantni kengaytirish formulasi qo'llaniladi.
2.2-misol. Matritsaning determinantini toping

Yechim. Determinantni 3-qator bo'ylab kengaytiramiz:
Endi biz oxirgi ustundagi uchinchi tartibning determinantini kengaytiramiz:
Ikkinchi tartibning determinanti (2.2) formula bo'yicha hisoblanadi:
Uchburchak matritsaning aniqlovchisi
Yuqori uchburchak matritsaning determinantini topish uchun kengaytirish formulasini qo'llaymiz

Determinantni oxirgi qatorga (n-chi qatorga) kengaytiramiz:elementning qo'shimcha minori qayerda. Belgilaymiz. Keyin. E'tibor bering, determinantning oxirgi qatori va oxirgi ustunini o'chirishda biz bir xil ko'rinishdagi yuqori uchburchak matritsaning determinantini olamiz, lekin (n-1) --tartibli. Determinantni oxirgi satr bo'ylab ((n-1) th chiziq) kengaytirib, biz olamiz. Davom etilmoqda xuddi shunday va shuni hisobga olib, formulaga kelamiz. yuqori uchburchak matritsaning determinanti asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng.
1. Pastki uchburchak matritsaning determinanti asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng.
2. Identifikatsiya matritsasining determinanti 1 ga teng.
3. Uchburchak shakldagi matritsaning aniqlovchisi uchburchak shakldagi determinant deb ataladi. Yuqorida ko'rsatilganidek, uchburchak shaklning determinanti (yuqori yoki pastki uchburchak matritsaning aniqlovchisi, xususan, diagonali) asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng.
Determinantlarning asosiy xossalari (determinantlar)
1. Har qanday kvadrat matritsa uchun, ya'ni. ko‘chirilganda determinant o‘zgarmaydi. Bu xususiyatdan kelib chiqadiki, kvalifikatsiyaning ustunlari va satrlari "teng": ustunlar uchun to'g'ri bo'lgan har qanday xususiyat qatorlar uchun to'g'ri bo'ladi.
2. Agar determinantda ustunlardan biri nolga teng bo'lsa (ustunning barcha elementlari nolga teng), u holda determinant nolga teng:.
3. Ikki ustunni almashtirishda determinant o‘z belgisini teskari tomonga o‘zgartiradi (antisimmetriya xossasi):
4. Agar sifatlovchida ikkita bo‘lsa bir xil ustunlar, u holda u nolga teng:

5. Agar aniqlovchi ikkita proporsional ustunga ega bo'lsa, u nolga teng bo'ladi:
6. Aniqlovchining bir ustunining barcha elementlari songa ko‘paytirilganda aniqlovchi shu songa ko‘paytiriladi.
Adabiyotlar

1. 
   Fadeev. D. K, Sominskiy.I.S. “Sbornik zadach po algebra”. М. Наука, 1977г.
   
2. 
   Proskuryakov I. B. “Sbornik zadach po lineynoy algebre”. «Наука», 1978г.
   
3. 
   Abdullaev N. va boshqalar, Algebradan laboratoriya topshiriqlari, T., Univ., 2007.
   
4. 
   Iskandarov R, Nazarov R “Algebra sonlar nazariyasi” I,II-qism
   
5. 
   Novosyolov S.I. “ Sonlar nazariyasi asoslari”