О‘zbekiston respublikasi oliy va о‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi о‘zbekiston milliy universiteti

3.2 Opsion narxlarini baholashda hosil bo'gan ko’p karrali integrallarni Monte-Karlo usulida hisoblash
Monte-Karlo metodi – bu tasodifiy miqdorlar yordamida matematik masalalarni sonli yechish metodidir.
Monte-Karlo metodining kelib chiqishi. Monte-Karlo metodi birinchi bo’lib 1949-yil “The Monte Carlo method” maqolasida uchragan. Bu metodni amerikalik matematiklar J. Neyman va S.Ulama o’ylab topishgan. Sobiq ittifoqda Monte-Karlo haqida dastlabki maqolalar 1955-1956-yillarda chiqa boshlagan.
Qizig’i shundaki, bu metodning nazariy asosi avvaldan ma’lum bo’lgan. Hattoki, ba’zi statistika masalalari tasodifiy tanlanmalar yordamida yechilgan, ya’ni Monte-Karlo metodi bilan. Biroq elektron hisoblash mashinalari (EHM) yaratilgunga qadar, bu metod qo’llanilmagan, chunki tasodifiy miqdorlarni qo’lda tuzib chiqish juda mehnat talab ish edi. Shu tariqa, Monte-Karlo metodining universal sonli metod bo’lishida EHM larning yaratilishi asosiy sabab bo’lgan. Monte-Karlo metodini statistik tajribalar metodi deb ham atashadi.
Metodning birinchi xususiyati – hisoblash algoritmi strukturasining soddaligidir. Metodning ikkinchi xususiyati: hisoblash hatoligi odatda ga proporsional bo’ladi, bu yerda D – qandaydir o’zgarmas, N – tajribalar soni. Bu formuladan ko’rinadiki, hatolikni 10 marta kamaytirish uchun (boshqacha aytganda javobda yana bir aniq o’nlik belgi hosil bo’lishi uchun) N ni 100 martaga oshirish kerak. Monte-Karlo usuli yordamida yechiladigan masalalar. Birinchidan, Monte-Karlo metodi tasodifiy faktorlarga asoslangan ixtiyoriy jarayonni modellashtira oladi. Ikkinchidan, tasodiflarga asoslanmagan ko’pchilik matematik masalalarga ham, sun’iy tarzda bu masalani yechuvchi ehtimollik modelini tuzsak bo’ladi.
Shu tariqa, Monte-Karlo metodini matematik masalalarni yechuvchi universal metod deb qarasak bo’ladi.
Moliyaviy matematikada opsiyonlarni baholash uchun qo’llaniladigan usullar analitik va raqamli usullarga bo’linadi. Biz analitik usuldan foydalanib Yevropa usulidagi opsiyonlarning malum bir cheklangan sonini hisoblab baholashimiz mumkin. Agar biz opsiyonning sonini ixtiyoriy katta raqamlarda baholamoqchi bo’lsak albatta raqamli usuldan foydalanishimiz maqsadga muofiq bo’ladi.Opsiyonning bahosini raqamli usuldan foydalanadigan bo’lsak bizga albatta Monte Karlo usuli o’zining qulayligi va soddaligi bilan eng maqul usul hisoblanadi. Chunki raqamlar soni ortib borishi bilan hisoblash jarayoni murakkablashib boradi. Biz tanlagan Monte Karlo usulida esa opsiyon bahosining matematik kutilmasini taxmin qilishimiz mumkin. Hamda biz opsion bahosini Monte Karlo usili bilan kompyuterda hisoblab topa olamiz. Biz tasoddifiy sonlarning ortib borish natijasida anniq qiymatga yaqin qilib yaxlitlab olishimiz mumkin. Biz opsiyonning narxini hisoblab topish uchun yigirmxa karrali integralni Monte Karlo usulidan foydalanib baholaymiz.
Misol: bu funksiyani Python dasturi orqali hisoblab natijani olamiz







Dastur kodi: