O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi islom karimov nomidagi toshkent davlat texnika universiteti olmaliq filiali

5.2. Eyler tenglamasi shaklidagi qovushqoq bo’lmagan suyuqliklar uchun harakat differensial tenglamasi

Barcha suyuqliklar muvozanat holatda bo‘lganda, uning tarkibidagi suyuqlik qatlamlari va zarrachalari orasida o’zaro ta’siri – gidrostatik bosim kuchi bilan ifodalanadi. Muvozanat holatidagi suyuqliklarga gidrostastik bosim kuchidan tashqari uning massasi tufayli yuzaga keladigan kuchlar ta’sirida muvozanatda bo’ladi. Idishga quyilgan suyuqlik egallagan hajmning turli sathlaridagi gidrostatik bosim kuchlarining qiymatlari ham har xil qiymatlarga ega bo’ladi.

1755 yilda rus olimi L. Eyler tomonidan qovushqoq bo’lmagan suyuqliklar uchun harakat differensial tenglamasini isbotlab berdi. Ushbu tenglamaga binoan gidrostatik bosimning koordinata o‘qlari yo’nalishlari bo’yicha o‘zgarishi suyuqlik zichligining massa tufayli yuzaga keladigan og‘irlik kuchining shu o‘q yo‘nalishlaridagi proeksiyasiga ko‘paytmasiga teng bo’larkan, ya’ni muvozanatdagi suyuqliklarda gidrostatik bosimning o‘zgarishi suyuqlik massasi tufayli yuzaga keladigan kuchlariga bog‘liq bo’larkan.





5.2- rasm. Differensial tenglamani isbotlashga oid chizma.

Chizmada tasvirlanganidek parallelopipedning yon yoqlariga ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchlari ushbu yoqlarga ichki normallar yo’nalishlarida ta’sir etmoqda, hususan OX o’qi yo’nalishi bo’yicha ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchlari: parallelopipedning P_o’ng– o’ng tarafidan va P_ch.- chap tarafidan ta’sir etuvchilari hisoblanadi. Bu kuchlarning qiymatlari quyidagicha:

O’ng tarafdan ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchi
P_o’ng = (P + _{ }) (5.7)
Chap tarafdan ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchi
P_ch. = (P - _{ }) (5.8)
bu yerda:
_{ } – P kuchning Ox o’qi bo’yicha olingan hosilasi, Ox o’qi bo’yicha bir uzunlik birligidagi o’zgaruvchi bosimi;
_{ } - gidrostatik bosimning Ox o’qi bo’yicha _{ } masofada o’zgarishi, yani A nuqtadan dydz yoqgacha.
Shuningdek Ox o’qi yo’nalishi bo’yicha parallelopipedning yon yoqlariga ta’sir etayotgan gidrostatik bosim kuchlarining qiymatlari quyidagicha bo’ladi:
dP′_x = (P - _{ } dydz
(5.9)
dP″_x = (P + _{ }) dydz
Xuddi shuningdek boshqa o’qlar yo’nalishlari bo’yicha ham parallelopipedning yon yoqlariga gidrostatik bosim kuchlari ta’sir etadi. Ajratib olingan parallelopiped tashqi gidrostatik bosim kuchlaridan tashqari massa tufayli yuzaga keladigan kuch ta’sirida muvozanat holatida bo’ladi. Massa tufayli yuzaga keladigan kuchlarning teng ta’sir etuvchisini umumiy ko’rinishda quyidagicha yozishadi:
dM = dm˖γ = ρ˖dW˖γ = ρ˖dx˖dy˖dz˖γ (5.10)
bu yerda,
ρ- suyuqlikning zichligi, [kg/sm³];
dW- elementar parallelopipedning hajmi, [m³; sm³]
γ- massa hisobiga yuzaga keladigan kuchning teng ta’sir etuvchisi, [N], uning o’qlar yo’nalishlari bo’yicha tashkil etuvchilarini quyidagicha belgilash qabul qilingan:
γ_x = X; γ_y = У; γ_z = Z.
Ajratib olingan parallelepiped ushbu kuchlar ta’sirida muvozanat holatida bo’ladi, yani koordinata o’qlariga mos keluvchi muvozanat tenglamalarini quyidagicha yozish mumkin, hususan OX o’qi yo’nalishi bo’yicha tenglama:
(P – _{ })˖dy˖dz + (P + _{ })˖dy˖dz + ρ˖dx˖dy˖dz˖X = 0 (5.11)
Ushbu tenglamaning barcha yaxlitlashlardan so’ngi, natijaviy ifodasi:
_{ } (5.12)
Xuddi shuningdek boshqa o’qlar yo’nalishlari bo’yicha ham natijaviy tenglamalarni umumlashtirsak, u holda suyuqlikning muvozanat holati ifodalovchi tenglama:
_{ }; xdx
_{ } xdу .. (5.13)
_{ } хdz

Hosil qilingan ushbu tenglama suyuqlikning muvozanat holati uchun differensial tenglama deyiladi. Ushbu tenglamaga binoan gidrostatik bosimning koordinata o‘qlari yo’nalishlari bo’yicha o‘zgarishi suyuqlik zichligining massa tufayli yuzaga keladigan og‘irlik kuchining shu o‘q yo‘nalishlaridagi proeksiyasiga ko‘paytmasiga teng bo’larkan, ya’ni muvozanatdagi suyuqliklarda gidrostatik bosimning o‘zgarishi suyuqlik massasi tufayli yuzaga keladigan kuchlariga bog‘liq bo’larkan.

Suyuqlik muvozanat holatining differensial tenglamasini 1755 yilda L. Eyler tomonidan isbotlab berilgan, shuning uchun ham ushbu tenglama suyuqlikning muvozanat holati uchun Eyler (differensial) tenglamasi deb ham yuritiladi.
Gidrostatik bosim kuchlarining taqsimlanishini ifodalovchi ushbu tenglamadan foydalanish jarayonini qulaylashtirish maqsadida, jumladan tenglamani integrallash jarayonini yengillashtirish uchun uning har birini o’z navbatida dx, dy va dz larga ko’paytirib, chap va o’ng tomonlarining yig’indilarini keltirib chiqaramiz, yani tenglama:
_{ }dx+_{ }dу + _{ } (5.14)
yoki
_{ }dx +_{ }dу + _{ } (5.15)

Tenglamaning chap tomonidagi yig’indi gidrostatik bosimning to’liq differensialini beradi, yani tenglama:

dP = _{ }dx +_{ }dу + _{ }(5.16)

Bu tenglama suyuqlikning jinsliliga, jazodagi koordinatalariga mos ravishda gidrostatik bosimning o’zgarishini bildiradi va muvozanat holatdagi suyuqlikning har qanday nuqtasidagi bosimini aniqlab berish mumkinligini anglatadi.
Oxirgi tenglamadan teng bosimli sirt tenglamasini keltirib chiqarish mumkin (gidrostatik bosim suyuqlikning hamma nuqtalarida teng bo’lgan sirt, yani P = const.). P = const. bo’lganda, dP = 0, ρ ≠ 0 emas, suning uchun teng bosimli sirtning tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi.


_{ }dx +_{ }dу + _{ }

Nazorat savollari:

1. 
   Yaxlit harakatanuvchi suyuqlik deganda nima tushuniladi?
   
2. 
   Suyuqlikning elementar oqimchasi uchun uzilmaslik tengamasini yozing.
   

3. Eyler tenglamasining mohiyatini gapirib bering.
4. Siqilmayidigan elementar suyuqlik oqiimchasi chizmasini keltiring.
5. Parallelepiped uchun muvozanat tenglamasini yozing.
6. Suyuqlikning muvozanat holati uchun differensial tenglamani yozing.
7. Suyuqlik oqimi uzilmaslik tenglamasining mohiyati nimadan iborat?
8. Gidrostatik bosimning to’liq differensialiga binoan qanday hulosa chiqarish mumkin?
gidrostatik bosimning to’liq differensialini