O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti

Parabolik tipdagi tenglamani oshkormas sxemali chekli ayirmalar usuli bilan yechish

Quyidagi chegaraviy masalani qaraylik:

CT_t = T_xx, t>0, 0 <x<l T(0,t) =T_a; T(l,t) = T_b, t>0
T(x,0) = T₀, 0 <x<l (4.1)
Bu chegaraviy masalaning analitik yechimi u(x,t) oldindan ma’lum bo’lishi ham mumkin.
Tenglamardagi differensial operatorlarni ularning chekli-ayirmali analoglari bilan almashturamiz.Oshkormas sxemadan foydalanamiz (3-rasm).
Xususiy hosilalarni mos chekli ayirmalar bilan almashtirish natijasida quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Xususiy hosilalarni approksimatsiyalashning tanlangan sxemasini grafik ko’rinishda 3-rasmdagidek tasvirlash mumkin.

3. 
   rasm foydalanilayotgan to’rtnuqtali oshkormas ayirmali sxemada yangi vaqt qatlamida uchta nuqta va eski vaqt qatlamida esa bitta nuqta olinayotganini yaqqol ko’rsatadi.
   

3-rasm.Tort nuqtali oshkormas sxema shabloni.

Hosilalarni bunday approksimatsiyalash uslubi oshkormas deb atalishiga sabab vaqtning yangi qatlamidagi temperaturalar maydoni oshkormas ifodalangan, ya’ni ularni aniqlash uchun berilgan tenglamalar sistemasini yechish zarur.
Hosil bo’lgan tenglamalar sistemasini plastinkalarning ichki tugun nuqtalari uchun quyidagicha umumiy ko’rinishga keltirish mumkin:
bu yerda

Bunday tenglamalar ikkinchi tartibli uch nuqtali deb ataladi.(4.3) sistema uch diagonally tuzilmaga ega.Shuning uchun nostatsionar masala qaralayotganligi sababli (4.3) sistemani har bir vaqt qadamida yechish zarur.

Faraz qilaylik, shunday va ( ) sonlar ketma-ketligi mavjudki, ular uchun
tenglik o’rinli, ya’ni ikkinchi tartibli uch nuqtali (4.3) tenglama birinchi tartibli ikki nuqtali (4.4) tenglamaga aylanadi. (4.4) tenglikda indeksni bittaga kamaytiramiz va hosil bo’lgan ushbu ifodani (4.3) tenglamaga qo’yamiz:

Bu yerdan esa

Oxirgi tenglik (4.4) ko’rinishida va u bilan aynan mos boladi, agar barcha lar uchun quyidagi munisabatalr bajarilsa:

Bu yerdagi barcha va larni aniqlash uchun chap chegaraviy shartlardan topiladigan va larni bilisimiz zarur.
Endi (4.4) formula bo’yicha ketma-ket larni topish mumkin, agar faqatgina o’ng chegaraviy shardan topilgan bo’lsa.
Shunday qilib, (4.3) ko’rinishdagi tenglamaning yechimini yuqoridagidek izlash uslubi haydash (progonka) usuli deb atalib, uchta formula bo’yicha hisoblashlarga olib kelinadi: (4.5) formulalar bo’yicha progonka koeffisiyentlari deb ataluvchi va ( ) lar (to’g’ri progonka) va keyin esa (4.4)
formula bo’yicha ( ) noma’lumlar topiladi (teskari progonka).
Progonka usulini muvaffaqiyatli qo’llash uchun hisoblashlar jarayonida nolga bo’lish holati paydo bo’lmasligi va katta o’lchamli sistemalarda yaxlitlash xatoligi tez oshib ketmasligi lozim.
Progonkani korrekt deb ataymiz, agar (4.5) formulalarda progonka koeffisiyentlarining maxrajlari nolga aylanmasa va uni ustovor deb aytamiz, agar barcha lar uchun shart bajarilsa.
(4.3) tenglamalar progonkasining korrektligi va ustivorligining yetarli sharti
va
ushbu usulning ko’plam tadbiqlarida o’z-o’zidan bajariladi.
(4.2) sistemaga qaytib, progonka koeffisiyentlarini aniqlaymiz va olingan sistemani yechishning to’la algoritmini tuzamiz.
Ma’lumki, da , u holda


.
Bu yerdan esa .
Xuddi shunday, da , u holda
.
Bu yerdan esa .

Progonka koeffisiyentlari (4.5) formulalardan hisoblanadi.

Shunday qilib, (4.1) differensial masalani approksimatsiyalovchi ayirmali munosabatlar quyidagi ko’rinishga keladi:
(4.8)

(4.1) differensial masalaning approksimatsiyasi (4.7)-(4.8) bo’lib, t vaqt bo’yicha birinchi vax fazoviy koordinata bo’yicha ikkinchi tartibli aniqlikda bajarilgan. Bu oshkormas ayirmali sxema absolyut ustivor, ya’ni (4.1) chegaraviy

masalani vaqt bo’yicha ixtiyoriy ayirmali qadam bilan integrallash mumkin.Vaqt bo’yicha qadam shunday tanlanadiki, to’la kuzatuv vaqtining intervali hech bo’lmaganda kamida 10 ta qadamga bo’linishi lozim.
Parabolik tipdagi tenglamalarga kiruvchi tenglamalardan biri bo’lgan ushbu


issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini sonli yechaylik.
Oshkormas sxemadan (3-rasm) foydalangan holda ushbu tenglamaning chekli ayirmali approksimatsiyasini quyidagicha yozamiz:
Bunda birinchi indeks gazoviy koordinataga, ikkinchisi esa vaqt koordinatasiga mos keladi.Oshkor sxemadan farqli ravishda bu chekli ayirmali tenglamaning o’ng tarafida funksiyaning qiymatlari keying vaqt qadamiga tegishli.
Ushbu

belgilashni kiritib,chekli ayirmali tenglamani quyidagicha yozib olamiz:

yoki matritsa ko’rinishida quyidagicha

bu yerda
u(0,t)=α=0, u(1,t)=β=0 – chegaraviy shartlar;
u(x,0) = sin(2x) – boshlang’ich shart.

Endi Mathcad matematik paketida bu hisoblashlarni bajarib, berilgan chegaraviy masalani yechamiz:

Yechim funksiyasining to’r grafigi va izoliniyalarini chizamiz (4-rasm).

4. 
   rasm.Chegaraviy masalaning yechimi grafiklari.
   

Quyidagi yana bir chegaraviymasalanixuddi shunday oshkormas sxemali to’rlar usuli bilan sonli yechamiz:
u_t = u_xx + u_x +u, t>0, 0 <x<2
u(0,t)=u(2,t)=0, t>0
u(x,0) = sin(x), 0 <x<2
Bu chegaraviy masalani yechishning Mathcad matematik paketidagi dasturi va uning natijalari esa quyidagicha (5-rasm):

4. 
   rasm.Chegaraviy masalaning yechimi grafiklari.
   
1.