O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti

Bir chetida fazaviy almashinishli ikki o’lchovli plastinkada issiqlik o’tkazuvchanlik masalasi

Masalaning matematik qo’yilishi quyidagicha:
Ikkala chetida adiabatik jarayon, bir chetida esa bug’lanish jarayoni kuzatilayotgan plastinkada issiqlik uzatilishi jarayonini sonli tahlil qilaylik.
Plastinkaning geometrik o’lchamlari L = H = 0,3 m. Plastinka material AlF₃ bo’lib, mexanik xarakteristikalari quyidagicha:  = 60 Vt/(mK);  = 3070 kg/m³; c = 1260 J/(kgC) ; M = 0,084 kg/mol.
Uning yechimlar sohasi quyidagicha (6-rasm).

4. 
   rasm.Yechimlar sohasi.
   

Bunga ko’ra masalaning matematik qo’yilishi quyidagicha yoziladi:

• 
  issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi
  

• 
  boshlang’ich shart
  

;

• 
  chegaraviy shartlar
  

bu yerda
bug’lanish tezligi;
– to’yingan bug’ bosimi.
Ushbu tuzilgan (5.1)-(5.2) masalani fazo va vaqt bo’yicha teng o’lchovli to’rbo’yicha sonli yechamiz (7-rasm).
(5.1) differensial tenglamani chekli ayirmali tenglamaga o’tkazish uchun vaqt-fazo bo’yicha quyidagicha koordinatali to’r kiritamiz:

bu yerda h_x, h_y – mos x, y koordinatalar bo’yicha to’r qadamlari;  - vaqt bo’icha qadam; hisob sohasini to’lasincha to’r bilan to’ldiramiz, ya’ni

Izlanayotgan funksiya uchun

belgilash kiritamiz.

Dastlabki (5.1) differensial tenglamani diskretlashtirishni A.A.Samarskiyning bir o’lchovli lokal sxemasi asosida amalga oshiramiz, bunda bu sxema absolyit ustivor va yig’indi approksimatsiya xossasiga ega. Bu sxemaning mazmuni

shundan iboratki, vaqt bo’yicha qadam ikki bosqichda amalga oshiriladi: vaqtning oraliq qadamida (5.1) tenglamani faqat x o’qi yo’nalishida diskretlashtiramiz va bir o’lchovli tenglamaga kelamiz; undan keyin (5.1) tenglamani yana diskretlashtiramiz, endi buni faqat y o’qi yo’nalhida bajaramiz va yana bir o’lchovli tenglamani hosil qilamiz, keyin esa vaqtning to’la qadamida temperatura maydonini aniqlaymiz.

4. 
   rasm.Hisob sohasining ayirmali to’ri.
   

Shunday qilib,

(5.3)

(5.4)

Bu oxirgi ikki ayirmali tenglama (3.3)-(3.4) standart uchdiagonalli holatga keltiriladi va progonka usuli bilan yechiladi. Avvalo butun soha bo’ylab (5.3)
tenglama yechiladi, keyin esa uning topilgan yechimlari asosida (5.3) tenglama yechiladi.
(5.3) tenglamani progonka usuli bilan yechishni qarab chiqaylik. Buning uchun bu tenglamani quyidagi ko’rinishga keltiramiz:

Bu tenglamaning koeffisiyentlari A_i, B_i, C_ilar quyidagicha topiladi:

Ushbu

progonka koeffisiyentlarini aniqlash uchun avvalo chap chegaraviy shardan α₁ va β₁ larni aniqlaymiz. Bular asosida esa qolgan koeffisiyentlar topiladi:

Undan keyin - o’ng chegaraviy shartdan topiladi; vaqtning yarimqatlamida
- temperatura maydoni topiladi. Keyin (5.4) tenglamani yechishga o’tiladi. Bu tenglamani yechish ham xuddi (5.3) ni yechish kabi.

Chegaraviy shartlar approksimatsiyasi quyidagicha.

x=0 chegara uchun:

Shunday qilib, progonkaning boshlang’ich hadlari:

O’ng chegara uchun quyidagiga ega bo’lamiz: Bu yerdan

chunki

Bu tengliklardan ko’rinib turibdiki, progonka koeffisiyenti β₁ chap chegaraviy shartdagi temperaturadan bog’liq.Shuning uchun temperature maydonini aniqlashda, masalan, oddiy iteratsiya usulidan foydalanish maqsadga muvofiq. Bu usulning tadbiqi g’oyasiga ko’ra vaqtning har bir qadamida iteratsiya hisoblashlari
shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi, bunda s – iteratsiya nomeri;  - hisoblash aniqligi.
Nochiziqli chegaraviy shartni approksimatsiyalash jarayonini qarab chiqaylik.Faraz qilqylik, chegarada issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi bajarilsin.T(x) funksiyani x=0 nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyih orqali quyidagi ifodaga kelamiz:
Buni endi berilgan bir o’lchovli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasiga qo’llasak, u holda quyidagilarga kelamiz:

Masalaning chegaraviy shartlaridan birinchisida esa

Oxirgi ikkita ifodalarni o’zaro tenglashtirsak,

Shunday qilib, progonkaning dastlabki hadlari quyidagicha:

O’ng chegaraviy sgartdan T_Nni quyidagicha topamiz:

Shunday qilib, ushbu

tenglikdan quyidagilar kelib chiqadi:


x=L va y=0 chegaralarda ham hisoblashlar hosilalarni xuddi shunday approksimatsiyalash orqali bajariladi, faqat bularda tenglikning o’ng tarafi holga tengligi e’tiborga olinadi.
Hisoblashlarni quyidagi ma’lumotlar uchun bajaramiz:
Beton plastinkaning geometrik o’lchamlari L = H = 0,3 m. Plastinka material AlF₃ bo’lib, mexanik xarakteristikalari quyidagicha:  = 60 Vt/(mK);  = 3070 kg/m³; c = 1260 J/(kgC) ; M = 0,084 kg/mol, T₀ = 1273 K; A = 0,1; k₀ = 10⁵; q
= 10⁴ Vt/m²; Q_bug’ = 38000 J/kg; k=50 Vt/(m²·K); T^e = 600 K. Masalani sonli yechishning algoritmi va dasturi quyida keltirilgan.