O’zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta’lim vazirligi farg`ona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti

2. Chiziqli taqqoslamalar va ularni yechish usullari
n- darajali bir nomalumli taqqoslama deb quyidagi ko’rinishdagi taqqoslamaga aytiladi:

Bu yerda , , , n- manfiy bo’lmagan butun son.
Taqqoslamani yechish – uni qanoatlantiradigan ning barcha qiymatlarini topish demakdir.
Agar berilgan taqqoslamani biror qiymat qanoatlantirsa , u holda bu taqqoslamani bilan umumiy modul bo’yicha taqqoslanadigan barcha sonlar ham qanoatlantiradi: , yoki , ya’ni modul bo’yicha tegishli bo’lgan chegirmalar sinfining barcha chegirmalari qanoatlantiradi.Har bir sinf bitta yechimni tashkil etadi. Demak , taqqoslamani yechish – uni qanoatlantiradigan chegirmalarning barcha sinflarini topishdan iborat.
Har bir sinfdan bittadan olingan chegirmalar to’la sistemani tashkil etganligi uchun taqqoslamani qanoatlantiradigan sonlar sinfini topish chegirmalarning to’la sistemasidan ularga mos keladigan chegirmalarni topishdan iborat ekan. Odatda sifatida berilgan modul bo’yicha manfiy bo’lmagan eng kichik yoki absolyut qiymati jihatidan eng kichik chegirmalar olinadi. Shunday qilib , to’la sistemaning nechta chegirmasi berilgan taqqoslamani qanoatlantirsa , taqqoslama shuncha yechimga ega bo’ladi.
Agar bir xil nomalumli va bir xil modulli ikkita taqqoslamani nomalumning bir xil qiymatlari qanoatlantirsa , bunday taqqoslamalar teng kuchli taqqoslamalar deyiladi.
Berilgan taqqoslamaga teng kuchli taqqoslamalar quyidagi almashtirishlar natijasida hosil bo’ladi.

1. 
   Berilgan taqqoslamani ikkala tomoniga ham bir xil sonni qo’shish natijasida;
   

2. 
   Berilgan taqqoslamaning ixtiyoriy qismiga modulga karrali sonni qo’shish natijasida;
   

3. 
   Berilgan taqqoslamaning ikkala tomonini modul bilan o’zaro tub bo’lgan songa ko’paytirish (bo’lish) natijasida;
   

4. 
   Taqqoslamaning ikkala tomonini va modulini bir xil songa bo’lish natijasida;
   

Agar bo’lsa , u holda
bo’ladi.
Birinchi darajali taqqoslamaning umumiy ko’rinishi quyidagicha yoziladi:

Bu taqqoslamani yechishda quyidagi hollar bo’lishi mumkin:
a) Agar bo’lsa, u holda taqqoslama faqat yagona yechimga ega.
b) Agar bo’lib, ozod had ga bo’linmasa, u holda taqqoslama yechimga ega emas.
c) Agar bo’lib, ozod had ga bo’linsa, u holda taqqoslama ta yechimga ega bo’ladi va bu yechimlar quyidagi formulalar bilan topiladi:

bu yerda - quyidagi taqqoslamaning yechimidan iborat:

taqqoslamani yechish usullarini faqat bo’lganda qarab chiqamiz, uchinchi holda taqqoslama ga qisqartirilgandan so’ng birinchi holga keltiriladi.
Birinchi darajali taqqoslamalarni yechishda quyidagi beshta usul qo’llaniladi:
a) yechim modul bo’yicha eng kichik manfiy bo’lmagan yoki absolyut qiymati jihatidan eng kichik chegirmalarning to’la sistemasidagi sonlarni bevosita sinash usuli bilan topiladi.
b) Eyler usuli. Yechim quyidagi formula bilan topiladi:

bu yerda –Eyler funksiyasi;
d) chekli uzluksiz kasrlar yordamida quyidagi formula bilan yechim topiladi:

bu yerda kasrni uzluksiz kasrga yoyganda hosil bo’ladigan oxirgisidan bitta oldingi munosib kasrning suratidan iborat.

5. 
   Taqqoslamani xossalaridan foydalanib yechish;
   
6. 
   Teskari sinf yordamida.
   

Ba’zi hollarda taqqoslamalarning xossalariga asoslangan almashtirishlar orqali berilgan taqqoslama oson yechiladi
Misol. Quyidagi taqqoslamani Eyler usuli bilan yeching:
Yechilishi. (9,34) =1 bo’lganligi uchun berilgan taqqoslama yagona yechimga ega bo’ladi. ni hisoblab quyidagilarga ega bo’lamiz:

Misol.Taqqoslamani uzluksiz kasrlar orqali yeching: .
Yechilishi.(285, 924)=3 va 177=59⋅3 bo’lganligi uchun berilgan taqqoslama uchta yechimga ega.
Taqqoslamaning ikkala tomonini va modulini 3 ga bo’lamiz:

kasrni uzluksiz kasrga yoyamiz: =(3,4,7,1,2). Munosib kasrlar jadvalini tuzamiz:

k		0	1	2	3	4
		3	4	7	1	2
	1	3	13	94	107	308
	0	1	4	29	33	95

Shunday qilib, , demak,

Bu yerdan natija taqqoslamaning yechimi ni hosil qilamiz. Berilgan taqqoslamaning yechimlari quyidagicha tasvirlanadi

Birinchi darajali taqqoslamalarni birinchi darajali ikki noma’lumli aniqmas tenglamalarni (diofant tenglamalari) yechishga tadbig’ini qarab chiqamiz.
Quyidagi aniqmas tenglama

ni yechish talab qilinsin. Agar bo’lsa, u holda berilgan tenglama butun yechimlarga ega bo’lib, uning umumiy yechimi quyidagicha ifodalanadi:

yoki manfiy bo’lganda quyidgicha ifodalash qulay:

Bu formulalarda va lar va larning tenglamani qanoatlantiradigan qandaydir qiymatlaridan iborat va t ∈ Z.
Agar va soni ga bo’linmasa, u holda tenglama butun sondagi yechimlarga ega emas.
Birinchi darajali aniqmas tenglamalar nazariyasidan noma’lumlarni xususiy yechimlarini topishning bir necha usullari mavjud.
Taqqoslamalar yordamida bu xususiy yechim quyidagicha topiladi:
dan taqqoslamaning ma’nosi haqidagi teoremaga ko’ra bir noma’lumli taqqoslamani hosil qilamiz, bu yerda o’z ishorasi bilan olinadi, taqqoslamani qanoatlantiradigan ning qiymati sifatida olinadi, ning qiymati esa bevosita berilgan tenglamaga ni qo’yib topiladi.
Misol. Quyidagi tenglamani butun sonlarda yechimlarini toping:
.
Yechilishi. Tenglamadan quyidagi taqqoslama kelib chiqadi:

Bu taqqoslamadagi koeffisiyentlarni 22 modul bo’yicha eng kichik musbat chegirmalariga keltirsak, ni hosil qilamiz, bu yerdan =20 ni hosil qilamiz. Bu qiymatni berilgan tenglamaga qo’yib, =35 ni topamiz. Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi:

Misol. Berilgan taqqoslamani teskari sinf yordamida yeching.

Yechilishi: a ga m modul bo’yicha teskari son topiladi.

u=11 soni 21 ga 23 modul bo’yicha teskari son bo’ladi.

Demak javob: