|
I BOB. UMUMLASHGAN FUNKSIYALAR VA ULARNING XOSSALARI.
1.1-§. Umumlashgan funksiyalar haqida tushunchalar.
Umumlashgan funksiya (taqsimot) tushunchasi fanga birinchi bo‘lib P. Dirak tomonidan 1930 yilda uning kvantomexanik tadqiqotlarida kiritilgan va bunda asosan Dirakning mashhur - funksiyasidan keng foydalanilgan. Umumlashgan funksiyalar (taqsimotlar) nazariyasining matematik asosi S.L. Sobolev tomonidan 1936 yilda qurilgan va giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Koshi masalasini echishda qo‘llanilgan. O‘tgan asrning yigirmanchi va o‘ttizinchi yillarining boshlarida (lokal integrallanuvchi funksiyalar tipidagi) umumlashgan funksiya tushunchasi bir qator matematiklar (D.Evans, L.Tonelli, CH.Morri, K.O.Fridrixe, J.Lere) ishlarida differensial tenglamaning umumlashgan echimi tushunchasini kiritishda uchraydi. Bu yunalish mukammal ketma-ketlikda S. L. Sobolev tomonidan 1950 yilda rivojlantirildi. Singulyar umumlashgan funksiyalarning ayrim sinflari S. Boxner, J. Adamar va M. Rise ishlarida uzoqlashuvchi integrallar va qatorlarni “regulyarizatsiyalash” bilan bog‘liq masalalarni yechishda qaralgan. V.A. Steklov tomonidan 1907 yilda taqdim etilgan o‘rtachalash usulining ham umumlashgan funksiyalar nazariyasining shakllanishiga turtki bo‘lganini qayd etish kerak. 1950-1951 yillarda L.SHvars umumlashgan funksiyalar (taqsimotlar) nazariyasini sistematik ravishda bayon qildi va unga topologik vektor fazolar nazariyasini qo‘llab uning bir qator muhim masalalarga tadbiqlarini ko‘rsatdi.
O‘tgan asrning 50–yillarida N.N. Bogolyubov birinchi bo‘lib elementar zarrachalarning lokal o‘zaro ta’sirini ifodalash uchun umumlashgan funksiyalarning fundamental rolini ko‘rsatdi va uni maydonning kvant nazariyasini aksiomatik qurishga qo‘lladi. SHu davrlarda L. Gording, I.M. Gelfand, L. Xyormanderlar tomonidan umumlashgan funksiyalarning metodlari bilan umumiy ko‘rinishdagi differensial operatorlar uchun fundamental natijalar olindi. Keyinchalik, ko‘pgina matematiklar tomonidan umumlashgan funksiyalar nazariyasi intensiv rivojlantirildi. Umumlashgan funksiyalar nazariyasining bunday jadal rivojlanishi birinchi navbatda matematik fizika talablaridan, asosan differensial tenglamalar nazariyasi va kvant fizikasi talablaridan kelib chiqdi. Ayni vaqtda umumlashgan funksiyalar nazariyasi keng rivojlantirilgan bo‘lib fizika, matematika va muhandislik sohalariga mustahkam kirib borganligi sababli ko‘pgina tadbiqlarga ega.
Umumlashgan funksiya tushunchasi klassik ma’nodagi funksiya tushunchasining umumlashtirilganidir. Bu umumlashtirish bir tomondan moddiy nuqtaning zichligi, nuqtaviy zaryad yoki dipolning zichligi, oddiy yoki ikkilamchi qatlamlarning zichligi, nuqtaviy manbaning oniy intensivligi hamda nuqtaga qo‘yilgan kuchning intensivligi va boshqa tushunchalarni matematik shaklda ifodalashga imkoniyat yaratdi.
Ikkinchi tomondan, umumlashgan funksiya tushunchasi real mumkin bo‘lmagan faktlarda o‘z aksini topadi. Masalan, moddiy nuqtaning zichligini o‘lchashda, bunda shu nuqtaning kichik atrofida uning o‘rtacha zichliginigina o‘lchash mumkin bo‘ladi va uni shu berilgan nuqtaning zichligi deb atashga olib keladi. Qo‘pol qilib aytganda, umumlashgan funksiya har bir nuqtaning atrofida o‘zining “o‘rta qiymati” bilan aniqlanadi.
Bu aytilganni tushuntirish uchun biz massasi 1 ga teng bo‘lgan moddiy nuqtaning zichligini aniqlashga kirishaylik. Bu moddiy nuqta koordinata boshi bilan ustma-ust tushsin deb faraz qilaylik.
Moddiy nuqtaning zichligini aniqlash uchun 1 ga teng bo‘lgan massani shar ichiga tekis taqsimlaymiz. Natijada
o‘rtacha zichlikni hosil qilamiz. Izlanayotgan zichlik sifatida biz avval o‘rtacha zichliklar ketma-ketligining intilgandagi nuqtaviy limiti deb qaraymiz va uni orqali belgilaymiz, ya’ni
(3.3.1)
bo‘lsin. Tabiiy ravishda, zichlik funksiyasidan ixtiyoriy hajm bo‘yicha olingan integral shu hajmga jamlangan massani berishi talab etiladi, ya’ni
bo‘ladi. Lekin (3.3.1) tenglikka ko‘ra bu keltirilgan tenglikning chap qismi har doim nolga teng. Bu qarama-qarshilikka ko‘ra o‘rtacha zichliklar ketma-ketligining intilgandagi nuqtaviy limitы deb zichlikni qabo‘l qilib bo‘lmasligi kelib chiqadi.
Endi o‘rtacha zichliklar ketma-ketligining intilgandagi kuchsiz limitini hisoblaymiz, ya’ni ixtiyoriy uzluksiz funksiya uchun sonli ketma-ketlikning intilgandagi limitini topamiz.
Biz
ekanligini ko‘rsatamiz.
Haqiqatdan ham, funksiyaning uzluksizligidan ixtiyoriy musbat son uchun shunday bir musbat son topiladiki, bunda tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqtalar uchun tengsizligi o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa, barcha uchun
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa tasdiqni isbot qiladi.
Shunday qilib, ketma-ketlikning intilgandagi kuchsiz limita funksional bo‘lib, har bir uzluksiz funksiyaga uning nuqtadagi qiymati bo‘lgan sonni mos qo‘yar ekan. Ushbu funksional esa, zichlikning ta’rifi sifatida qabul qilinadi. Odatda bu Dirakning mashhur – funksiyasi deyiladi.
Demak, intilganda ekanligi aslida ixtiyoriy uzluksiz funksiya uchun intilganda
limitik munosabat o‘rinli bo‘lishini bildiradi, bunda simvol songa teng bo‘lib funksionalning funksiyaga ta’siridash qiymatidir, ya’ni bo‘ladi.
Endi jismning to‘liq massasini tiklash uchun (zichlik) funksionali bilan funksiyaga ta’sir qildirish kepak, ya’ni bo‘ladi.
Agar nuqtada massa jamlangan bo‘lsa, u holda shunga mos zichlik ga teng hisoblanadi. Agar massa nuqtada jamlangan bo‘lsa, u holda zichlikni tabiiy ravishda ga teng deb hisoblanadi, bunda . Umuman olganda turli nuktalarda , massalar jamlangan bo‘lsa, unga mos zichlik
yig‘indiga bo‘ladi.
Shunday qilib, moddiy nuqtalar yordamida yaratiladigan zichlik klassik ma’nodagi funksiya tushunchasi bilan ifoda qilinmas ekan va uni ifoda qilish uchun bir oz umumiyroq bo‘lgan ob’ektlarni jalb kilish talab etiladi. Bu esa chiziqli uzluksiz funksionallar (umumlashgan funksiyalar) orqali aniqlanar ekan.
Do'stlaringiz bilan baham: |
