O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti magistratura bo’limi matematika (yo’nalishlar bo’yicha) mutaxasisligi talabasi Ro’zikov Maxammadjon Mamirali o’g’lining

asosiy funksiyalar fazosi. Keltirilgan misoldagi - funksiyadan ko‘rinadiki, bu uzluksiz funksiya yordamida shu funksiyalarda aniqlangan chiziqli uzluksiz funksional sifatida aniqlanar ekan. Bu uzluksiz funksiyalar - funksiya uchun asosiy funksiyalar deb aytiladi. Bu nuqtai nazar ixtiyoriy umumlashgan funksiyani etarlicha “yaxshi” (asosiy) funksiyalar fazosida chiziqli uzluksiz funksional sifatida aniqlashga asos qilib olinadi. Ma’lumki, asosiy funksiyalar fazosi qanchalar kichik bo‘lsa, u holda chiziqli uzluksiz funksionallar shungalar ko‘p mavjud bo‘ladi. Ikkinchi tomondan, esa asosiy funksiyalar to‘plami etarlicha ko‘p bo‘lishi kerak. Biz bu punktda muxim bo‘lgan asosiy funksiyalar fazosini kiritamiz.
orkali fazoda aniqlangan barcha cheksiz differensiallanuvchi finit funksiyalarning fazosini belgilaymiz. Biz bu fazodagi yaqinlashish tushunchasini quyidagicha yufitamiz.
Ta’rif. Agar fazodan olingan ixtiyoriy funksiyalar ketma-ketligi va funksiya uchun
a) shunday bir musbat son mavjud bo‘lib ;
b) har bir mul’tiindeksuchun da
(3.3.2)
bo‘lsa, u holda funksiyalar ketma-ketligi funksiyaga uchun fazoda yaqinlashadi deb aytiladi va da fazoda deb yoziladi.
Bunday yaqinlashish tushunchasi kiritilgan chiziqli to‘plamga asosiy funksiyalar fazosi deyiladi.
Bu fazoda differensiallash amali fazoni shu fazoga uzluksiz akslantiradi.
Haqiqatdan ham, agar da fazoda bo‘lsa, u holda a) shunday bir musbat son mavjud bo‘lib uchun va b) har bir multiindeks uchun da

bo‘ladi. Lekin u holda: a) ; b) har bir multiindeks uchun da

bo‘ladi. fazodagi yaqinlashish ta’rifiga ko‘ra bu har bir multiindeks uchun da fazoda ekanligini bildiradi. Bu esa fazoda differensiallash operatori fazoni shu fazoga uzluksiz akslantirishini bildiradi.
Xuddi shuningdek, o‘zgaruvchilarni maxsusmas chiziqli almashtirish amali va funksiyaga ko‘paytirish amali ham. fazoni shu fazoga uzluksiz akslantiradi.
orqali tashuvchisi fazoga tegishli bo‘lgan barcha asosiy funksiyalar to‘plamini belgilaymiz. Shunga ko‘ra

bo‘ladi.
Bu kiritilgan ta’rifga ko‘ra aynan nolga teng bo‘lmagan shunday asosiy funksiya mavjudmi degan savol tug‘iladi. Ma’lumki, bunday funksiyalar fazoda analitik bo‘lmaydi. Noldan farqli bo‘lgai asosiy funksiyaga quyidagi «shapochka» funksiya misol bo‘ladi:

Bu yerdagi o‘zgarmasni biz

shartni qanoatlantiradigan qilib tanlaymiz, ya’ni

bo‘ladi.

Osongina tekshirib ko‘rish mumkinki

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Quyidagi lemma asosiy funksiyalarga kupgina misollar keltirish mumkinligini ko‘rsatadi.
1-lemma. Ixtiyoriy soha va ixtieriy musbat son uchun shunday bir funksiya topiladiki, bunda

bo‘ladi.