O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim

§ 8. Gauss teoremasining differensial ko‘rinishi

Integral ko‘rinishdagi Gauss teoremasi (7.2) nolokal xarakterga ega, chunki unda fizik kattaliklarning qiymati fazoning turli xil nuqtasida mavjud bo‘ladi. E_p tanlab olingan sirtning barcha nuqtalarida va  - shu sirt bilan chegaralangan hajmning barcha nuqtalarida. Agar sirtni nuqtaga yaqinlashtirsak yoki limitga o‘tsak, Gauss teoremasining differensial shakli-fizik kattaliklarning qiymatini bog‘lovchi differensial tenglamadan iborat bo‘ladi, zaryad zichligi va kuchlanganlikning koordinata bo‘yicha hosilasi fazoning bitta nuqtasi uchun mavjud bo‘ladi.Koordinatalari X, Y, Z bo‘lgan nuqtani qaraymiz va uning koordinatalarining kichik siljishlari x, y, va z bo‘yicha to‘g‘ri burchakli parallelopipedni hosil qilamiz. (14-rasm)

5. 
   rasm
   

Shu parallelopiped sirti orqali o‘tgan kuchlanganlik vektori oqimi uchun ifodani topamiz. Pastki yoq uchun yuza S=xy va E_n=- E_z(x,y,z), chunki bu yoqqa tashqi normal Z o‘qiga teskari yo‘nalgan:

  E_Z (x, y, z)xy

(8.1)

Yuqori yoqdan o‘tuvchi oqim E_z(x,y,z+z)xy ga teng bo‘ladi. Haqiqatda bu holda E_n=+E_z ga teng, chunki tashqi normal yo‘nalishi Z o‘qi bilan mos keladi va undan tashqari E_z ning qiymatini x,y,z+z

nuqtada olish kerak, chunki yuqori yoq z ga siljigan. Xuddi shunday yo‘l bilan boshqa yoqlar uchun ham topiladi: chapdagi -E_y(x,y,z)yz, o‘ngdagi E_x(x+x,y,z)yz, oldingi -E_y(x,y,z)xz va orqadagi E_y(x,y+y,z)xz. Yoqlar orqali o‘tgan oqimlarni qo‘shib, parallelopiped sirtidan o‘tgan to‘la oqimni topamiz, uni Gauss teoremasi

bo‘yicha (1/₀)(x,y,z)xyz zaryadga tenglashtiramiz ( sirt ichida joylashgan):

y
E_x (x + x, y,z) - E_x (x, y,z)yz + E (x, y + y,z) - E_y (x,y,z)xz 

 ₁ 

(8.2)


+ E_z (x, y,z + z) + E_z (x, y,z)xy  ^ _

^  (x, y,z)xyz

0 

Tenglikning ikkala tomonini parallelopiped hajmiga bo‘lamiz va limitga o‘tamiz: x0, y0 va z0 natijada quyidagiga ega bo‘lamiz:

E_X

x

• 
  E_Y
  

y

• 
  E_Z
  

z

_ 1 _

 ₀

, (8.3)

Bu differensial tenglama bo‘lib Gauss teoremasining differensial ko‘rinishini ifodalaydi.