O`zbekiston respublikasi oliy ta’lim vazirligi universiteti

1.6 Ostrogradskiy formulasining ba'zi ilovalari

1) Tana hajmining sirt integrallari bilan ifodalanishi. P , Q , R funksiyalarini turli usullar bilan tanlash mumkin , shunda uch karrali integraldagi integral birga teng bo'lib chiqadi, shuning uchun bu integral tananing V hajmiga ( V ) kichrayadi. Shunday qilib, V hajm jismni ( V ) chegaralovchi sirtga ( S ) cho'zilgan sirt integrali sifatida ifodalanadi .

Shunday qilib, (4) ni birma-bir qabul qilamiz
,
formulalarga kelamiz:

sirtning tashqi tomonida olingan barcha integrallar bilan ( S ). Ko'proq nosimmetrik formula qulayroq, mos keladi

u o'xshaydi

yoki - birinchi turdagi integralga o'tsak

(bu erda tashqi normalning sirtga yo'nalishi kosinuslari ko'rsatilgan )
x , y , z proyeksiyalari bilan yuzaning o‘zgaruvchan nuqtasi bilan koordinatani bog‘lovchi vektorni ko‘rib chiqsak , u holda qavs ichidagi ifodani quyidagicha qayta yozish mumkin.

va nihoyat,

2) Qattiq yopiq sirtning muvozanati. Bir xil bosimga duchor bo'lgan qattiq yopiq sirt muvozanatda qolishini isbotlaylik.
Shu maqsadda biz sirtga qo'llaniladigan barcha kuchlar tizimining asosiy vektori va asosiy momenti (har qanday nuqtaga nisbatan) nolga teng ekanligini aniqlaymiz.
Sirtning dS elementini ajratib olaylik . Agar bosimni p = const bilan belgilasak , ya'ni. dS ga bu elementga normal bo'ylab ta'sir etuvchi kuch o'qda proyeksiyalarga ega bo'ladi

(minus belgisi qo'yiladi, chunki bosim sirt ichiga yo'naltiriladi va , koordinata o'qlari bilan tashqi normalning burchaklari).
proyeksiyalari elementar kuchlarning proyeksiyasidan ularni yig'ish orqali olinadi:

Ammo bu integrallarning barchasi nolga teng, agar biz uni qo'ysak, Ostrogradskiy formulasidan ko'rish mumkin.

Demak, asosiy vektor nolga teng.
Elementar kuchlar tizimining asosiy momentini aniqlash uchun, aytaylik, kelib chiqishiga nisbatan, biz ushbu elementar kuchlar momentlarining o'qlari bo'yicha proyeksiyalarni yig'amiz:

Shunday qilib, bosimning asosiy momentining kelib chiqishiga nisbatan proektsiyalari quyidagicha bo'ladi:


Ostrogradskiy formulasida P =0, Q = pz , R = - py ni olsak, biz buni olamiz . Buni o'rnatish ham xuddi shunday oson . Bosimlarning asosiy momenti (kelib chiqishiga nisbatan) nolga teng. Bu dalilni to'ldiradi.
3) Arximed qonuni. Ma'lumki, suyuqlikning unga botirilgan platformadagi bosimi platformaga normal bo'ylab yo'naltiriladi va suyuqlik ustunining og'irligiga teng bo'ladi, uning asosi bu platforma, balandligi esa chuqurlikdir. platformaga botirish. Keling, V qattiq jism suyuqlikka botgan deb faraz qilaylik ; suyuqlik o'zining S sirtining har bir elementiga dS ko'rsatilgan qonunga muvofiq bosadi. Elementar bosimning natijasini va uni qo'llash joyini aniqlash kerak.
xy tekislikni suyuqlikning erkin yuzasi bilan tenglashtirib, z o‘qini vertikal pastga yo‘naltirib , koordinatalar sistemasini tanlaymiz .
Suyuqlikning solishtirma og'irligi p , elementning cho'milish chuqurligi dS z bo'lsin ; keyin bu element boshdan bosim bo'ladi

va uning o'qdagi proyeksiyalari

Bunday holda, asosiy vektorning eksa bo'yicha proyeksiyalari uchun bizda quyidagilar mavjud:

Ostrogradskiy formulasidan foydalanib, oldingi masalada bo'lgani kabi, uni olish oson

Shunday qilib, asosiy bosim vektori vertikal ravishda yuqoriga yo'naltiriladi va tana tomonidan almashtirilgan suyuqlikning og'irligiga teng.
Keling, elementar kuchlarning tananing og'irlik markaziga nisbatan momentlarini ko'rib chiqaylik (bundan keyin biz geometrik jismning og'irlik markazini nazarda tutamiz, massalar bir xil taqsimlanadi; u og'irlik markaziga to'g'ri kelmasligi mumkin. jismoniy tana). O'qlar bo'ylab elementar momentlarning tarkibiy qismlari bo'ladi


C nuqtaga nisbatan ) biz quyidagilarni olamiz:



Ostrogradskiy formulasini integralga qo'llab, topamiz

chunki integral jismning xz tekisligiga nisbatan statik momenti va ga teng . Xuddi shunday, to'g'ridan-to'g'ri olinganligi aniqlangan , nihoyat, bu va .
Shunday qilib, tananing og'irlik markaziga nisbatan bosimning asosiy momenti nolga teng. Ushbu bayonotni asosiy vektor haqidagi ilgari isbotlangan taxmin bilan taqqoslab, biz quyidagi xulosaga kelamiz: suyuqlikka botgan jismga tana joyidan siljigan suyuqlikning og'irligiga teng kuch ta'sir qiladi; bu kuch (geometrik) tananing og'irlik markaziga qo'llaniladi va vertikal yuqoriga yo'naltiriladi.
2. Sirt integrallariga oid masalalar yechish

• 
  1-misol
  

Sfera va konusning kesishishi g chiziq bo'ylab vektorning sirkulyatsiyasini hisoblang , z > 0.

g egri chiziqda yotgan nuqtalar uchun tengliklar to'g'ri bo'ladi: .

g egri chiziqda yotgan nuqtalar koordinatalari munosabatlarni qanoatlantiradi: _z ² = _R ² /2, _x ² + _y ² = _R ² /2, bular. egri g - radiusli aylana samolyotda yotish .
Biz Stokes formulasini qo'llaymiz. Ō sirt sifatida biz tekislikda yotgan radiusli doira olamiz . g egri chizig'i bu doiraning chegarasi, ya'ni. . Konturni chetlab o'tishning ijobiy yo'nalishi, agar OZ o'qining ijobiy qismi tomondan qaralsa, soat miliga teskari yo'nalish deb hisoblanadi (16-rasm). Vektor kontur o'tishning tanlangan ijobiy yo'nalishiga mos keladigan Ō ga normal vektordir.
Ō sirtida bizda: dŌ = dxdy. Vektorning rotori :

Ō sirtning OXY tekisligiga proyeksiyasi radiusli D aylanadir . Formulaga ko'ra biz quyidagilarni olamiz:


Рисунок 6. К примеру 1

• 
  2-misol
  

Hisob aylanma vektor funksiyasi

paraboloidning (17-rasm) koordinata tekisliklari (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) bilan kesishuvining g chizig‘i bo‘ylab.
Keling, Stokes formulasidan foydalanamiz. g chegarasi bo'lgan Ō sirt sifatida biz paraboloidning birinchi oktantda yotgan qismini olamiz, ya'ni. uchun x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. Shunday qilib, g = G(Ō). Konturni chetlab o'tishning ijobiy yo'nalishi, agar tashqi normal tomondan paraboloidga qaralsa, soat miliga teskari harakat deb hisoblanadi:
Ō sirtida bizda:

Endi vektorning rotorini topamiz :

Ō sirtning OXY tekisligiga proyeksiyasi chorak aylana D: + =1, x ≥ 0, y ≥ 0.
Silindrsimon koordinatalarda Ō sirtida tenglik bajariladi . Keyin, Stokes formulasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

(Oxirgi integral o'zgaruvchilarning o'zgarishi yordamida hisoblanishi mumkin ).

• 
  
  
  Рисунок 7. К примеру 2
  3-misol
  

Kubning tashqi yuzasidan vektor oqimini hisoblang 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a.


Rasm 8. К примеру 3
V kubning sirti Ō, uning sirtining tashqi normali bo'lsin (18-rasm). Ostrogradskiy formulasiga ko'ra biz quyidagilarni olamiz:

• 
  4-misol
  

Zichlikdagi massa sharning Ō yuzasiga taqsimlansin . Sferaning massasini toping.
Ō sirtni Ōk kichik qismlarga ajratamizki, ularning har birida zichlikni doimiy deb hisoblash mumkin. Ōk ning har bir qismida ixtiyoriy Mk nuqtani tanlaymiz. Keyin sirtning massasi taxminan qiymatga teng bo'ladi

va birinchi turdagi r(M) funksiyaning sirt integralining Ō sirt ustidagi integral yig'indisidir. Bo'limning qismlari qanchalik kichik bo'lsa, formula aniqroq bo'ladi. Sirt massasi chegarasida biz quyidagilarni olamiz:

Sferik koordinatalarni kiritamiz:

Keyin



Ō sirtining Gauss koeffitsientlarini topamiz:



Keyin, formula bo'yicha, biz shar yuzasining kerakli massasini olamiz:

• 
  5-misol
  

Rasm9. К примеру 5
z = 1 tekislik bilan kesilgan paraboloid qismining maydonini hisoblang (19-rasm).
Ushbu misolda va .
U holda biz quyidagilarga erishamiz: , bu erda D - koordinatali 2 radiusli OXY tekislikdagi aylana. Polar koordinatalarga o'tsak, biz quyidagilarni olamiz:

Xulosa

Integral matematik tahlilning asosiy tushunchalaridan biri boʻlib, bir tomondan funksiyalarni hosilalari boʻyicha topish, masalan, harakatlanuvchi nuqta bosib oʻtgan yoʻl uzunligini unga koʻra topish zarurati bilan bogʻliq holda vujudga kelgan. tezlik. Boshqa tomondan, maydonlarni, hajmlarni, ma'lum vaqt davomida kuchlarning ishini va boshqalarni o'lchash uchun. Xulosa qilib shuni aytishimiz mumkinki, sirt integrallari mavzusi nafaqat geometriya va algebra fanlarida, balki fizikada ham o‘z aksini topganligi sababli ta’lim muassasalarida o‘qish uchun muhim ahamiyatga ega. Sirt integrali tushunchasi sirt zichligiga ega boʻlgan sirtning massasini topish masalasi kabi masalalarda qoʻllaniladi, vektor maydonining aylanishini topishda, jismning hajmini topishda, vektor oqimini topishda qoʻllaniladi. yopiq sirt bo'ylab maydon va boshqalar.

Masalalarni yechishda qo‘llaniladigan asosiy teoremalar, sirt chegarasi konturi bo‘ylab sirt integrallarini egri chiziqli integrallar bilan bog‘lovchi formulalar va bu mintaqa chegarasi bo‘ylab sirt integrali bo‘lgan fazoviy mintaqa ustidagi uch karrali integral ko‘rib chiqildi. Sirt integral qo'sh integralning aniq integralga nisbatan egri chiziqli integral bilan bir xil umumlashtirilishidir.
Sirt integrallariga oid materiallarni to‘plagan va tizimlashtirgandan so‘ng, men tahlil, integral hisoblash va fizikaviy qo‘llanmalar sohasida ko‘p ishlarni amalga oshirdim. Ushbu materialni universitetlarda ko'rsatish mumkin, chunki matematika fanlari - algebra, matematik tahlil, geometriya; jismoniy fanlarda esa nazariy mexanika va elektrostatika.