O`zbekiston respublikasi oliy ta’lim vazirligi universiteti

1.1. Birinchi turdagi sirt integralining ta’rifi
1. Sirt integrallaridan foydalanib, massalar, momentlar, tortishish markazlarining koordinatalari va boshqalarni aniqlash mumkin. Har bir nuqtada aniqlangan sirt zichligi bilan massalar taqsimlanadigan material sirtlari uchun miqdorlar.

• 
  Qobiq og'irligi
  

S yupqa silliq qobiq bo'lsin. Qobiq massasi taqsimoti zichlik funktsiyasi bilan tavsiflanadi . Keyin qobiqning umumiy massasi formula bo'yicha birinchi turdagi sirt integrali orqali ifodalanadi:

• 
  Qobiqning massa markazi va inersiya momentlari
  

Yupqa qobiqdagi massa taqsimoti m uzluksiz zichlik funksiyasi bilan tasvirlansin . Massa koordinatalarining qobiq markazi formulalar bilan aniqlanadi
, , , qayerda

mos ravishda x=0, y=0 va z=0 koordinata tekisliklariga nisbatan birinchi tartibli momentlar deb ataladi.

Qobiqning o'qlarga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda quyidagi formulalar bilan ifodalanadi:

.

Qobiqning tekisliklarga nisbatan inersiya momentlari formulalar bilan aniqlanadi

• 
  sirtni tortish kuchi
  

Рисунок 3

Рисунок 4
S
sirt berilsin va sirtga tegishli bo'lmagan nuqtada massasi m bo'lgan jism mavjud (3.4-rasm).
S sirt va nuqta tanasi m orasidagi tortishish kuchi ifoda bilan aniqlanadi
,
bu yerda , G - tortishish doimiysi, zichlik funksiyasi.

• 
  bosim kuchi
  

Faraz qilaylik, S sirt vektor r tomonidan berilgan va u qandaydir bosim kuchi ta'sirida bo'lsin (u to'g'on, samolyot qanoti, siqilgan gaz ballonining devori va boshqalar bo'lishi mumkin). Bosim natijasida hosil bo'lgan umumiy kuch F sirt integrali yordamida quyidagi formula yordamida topiladi:

Bosim, ta'rifiga ko'ra, har bir nuqtada S yuzasiga normal vektor yo'nalishi bo'yicha harakat qiladi. Shuning uchun biz yozishimiz mumkin
, bu yerda n - S sirtiga birlik normal vektor.

• 
  Suyuqlik oqimi va moddalar oqimi
  

Agar suyuqlikning tezligi vektor maydoni sifatida qaralsa , u holda S sirtdan o'tadigan oqim suyuqlik oqimi deb ataladi. U S sirtdan vaqt birligida o'tadigan suyuqlik hajmiga teng va formula bilan ifodalanadi

Xuddi shunday, vektor maydonining oqimi , bu erda r - zichlik, materiya oqimi deb ataladi va ifoda bilan aniqlanadi.

U son jihatdan vaqt birligida S sirtdan oʻtuvchi moddaning massasiga teng.
Fikhtengolts G.M. Differensial va integral hisoblash kursi asosida . V.2. Sankt-Peterburg: Lan, 1997 - 337 - 339s.)


2. Oddiy qatlamni jalb qilish. Birinchi turdagi sirt integrallari sirtda tarqalgan massalarning tortishishini o'rganishda tabiiy ravishda hisobga olinadi.
M ( x , y , z ) nuqtada berilgan zichlik bilan ( S ) sirt ustida uzluksiz taqsimlansin.
Bundan tashqari, massa birligi nuqtada bo'lsin. Agar Nyutonning tortishish qonuni (umumiy tortishish qonuni) asos qilib olingan bo'lsa, kuch A nuqtani sirt ( S ) tomonidan qanday kattalik va yo'nalish bilan jalb qilishini aniqlash talab qilinadi .
unda m massasi jamlangan faqat bitta moddiy nuqta M ( x , y , z ) tortgan bo lsa , u holda jozibador kuchning kattaligi teng bo lar edi .

bu erda r - masofa , ya'ni.

Bu kuch A dan M ga yo'naltirilganligi sababli, uning yo'nalishi kosinuslari bo'ladi

Moddiy nuqtalarni jalb qilish tizimi bo'lsa, bu ifodalar o'xshash iboralar yig'indisi bilan almashtiriladi; nihoyat, sirt ustida massalarning uzluksiz taqsimlanishi bilan yig'indi o'rniga integrallar paydo bo'ladi.
Oddiy taqdim etish usulini qo'llagan holda, uning M ( x , y , z ) nuqtalaridan birida to'plangandek, massali sirtning dS elementini ko'rib chiqish mumkin. Uning A nuqtasiga ta'sir qiladigan tortishish o'qda proyeksiyalarga ega bo'ladi:

bu yerda r (*) formula bilan ifodalangan masofani bildiradi . Endi oddiy qatlamning jozibador kuchini eksa bo'yicha proektsiyalash uchun quyidagi formulalarga olib keladigan ushbu ifodalarni yig'ishgina qoladi :

Bu bilan kuch ham kattaligi, ham yo'nalishi bo'yicha to'liq aniqlanadi.
Agar tortilgan A nuqtaning o'zi sirtda bo'lsa ( S ), u holda o'qdagi tortishish proyeksiyalari hali ham bu integrallar bilan ifodalangan bo'lar edi, lekin bu safar bu integrallar noto'g'ri bo'ladi, chunki A nuqtaga yaqin integrallar chegaralanishni to'xtatadi. .


3.Oddiy maydonning potensiali


Fixtengolts G. M. Differensial va integral hisoblash kursi asosida . V.2. Sankt-Peterburg: Lan, 1997 - 316 - 319s)