|
II. IKKINCHI TUR SIRT INTEGEGRALLARI
2.1. Ikkinchi turdagi sirt integralining ta'rifi.
Har bir M nuqtasida normalning yo'nalishi aniqlanadigan silliq ikki tomonlama yuzada Ō qaysidir tomon tanlansin . 1.1-bo'limda bajarilganidek, Ō sirtining T qismini Ō1, Ō2, …, Ōn qismlarga ixtiyoriy bo'lak-bo'lakli egri chiziqlar yordamida quramiz. Ōk ning ushbu qismlarining har birida biz koordinatali Mk ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz . Birinchi turdagi sirt integralini kiritishda integral yig'indi Ōk qismlari maydonidagi Mk nuqtasida f funktsiyasi qiymatlari ko'paytmalari yig'indisi sifatida aniqlandi. Ikkinchi turdagi sirt integralini aniqlashda Mk nuqtadagi funktsiyaning qiymatlari Ōk qismlarining maydoniga emas, balki ushbu qismlarning proyeksiyalari maydoniga ko'paytiriladi. sirtning orientatsiyasiga qarab ma'lum bir belgi bilan olingan koordinata tekisliklari Ō.
Ō sirt tenglama bilan berilgan bo'lsin
Ōk qismlarining OXY tekisligiga proyeksiyalarini Dk bilan belgilang. Agar normalning Ōk qismiga yo'nalishi OZ o'qining musbat yo'nalishi bilan o'tkir burchak hosil qilsa (ya'ni tanlangan tomon bo'lsa) integral yig'indiga mintaqaning maydonini "+" belgisi bilan kiritamiz. yuzaning yuqori qismi) va "-" belgisi bilan, agar bu burchak o'tmas bo'lsa (ya'ni, sirtning tanlangan tomoni pastki bo'lsa).
Shunday qilib, sirtning yuqori tomoni uchun integral yig'indi quyidagicha yoziladi:
va sirtning pastki tomoni uchun integral yig'indisi belgisi bilan farq qiladi.
Sirtning yuqori tomonini Ō belgisi bilan , pastki tomonini esa belgi bilan belgilashga rozi bo'laylik .
Ta'rif 1. Sirt bo'limining Ōk qismlari sonining cheksiz ko'payishi va dT bo'linmasining diametrlari cheksiz kamayishi bilan integral yig'indilarning chegarasi (1) bo'lsin va bu chegara ga bog'liq emas. sirtni bo'lish usuli Ō, na Ōk qismlarida Mk nuqtalarini tanlash bo'yicha. U holda bu chegara ikkinchi turdagi f funksiyaning sirt integrali deyiladi Ō sirtning ustki tomonida va quyidagicha belgilanadi:
Sirtning pastki tomonidagi sirt integrali belgisi bilan farqlanadi:
dxdy belgisi Ō k qismlari OXY tekisligiga proyeksiyalanganligini bildiradi .
Xuddi shunday, ikkinchi turdagi sirt integrali ixtiyoriy sirt holati uchun ham aniqlanadi (tenglama bilan berilishi shart emas ). Bu holda integral yig'indilar (1) ifodaga o'xshash tarzda tuzilgan yagona farq - ular turli belgilarga ega bo'lgan maydonlarni o'z ichiga olishi mumkin (12-rasm). Agar qismning Ōk qismining qaysidir qismi egri chiziqqa proyeksiyalansa (masalan, generatrisa OZ o'qiga parallel bo'lgan silindrsimon sirt uning yo'nalishiga proyeksiya qilinganidek), biz proyeksiya maydoni │Dk│ nolga teng deb faraz qilamiz va integral yig'indida mos keladigan atama yo'q. Biz, shuningdek, integral yig'indilardagi shartlarni e'tiborsiz qoldiramiz, ular uchun normal OZ o'qining musbat yo'nalishi bilan o'tkir burchak hosil qiladi, yuzalarning ba'zi nuqtalari uchun Ōk , va bir qismi uchun u o'tmas. Bu taxmin to'g'ri, chunki
Рисунок 5. К определению поверхностного интеграла 2 рода
chegaraga o'tganda, bunday shartlarning integral yig'indiga qo'shgan hissasi kichikdir.
Agar OXY tekisligi o'rniga Ōk bo'linish qismlari OXZ tekisligiga yoki OYZ tekisligiga proyeksiyalansa, u holda ikkinchi turdagi sirt integrallari paydo bo'ladi, ular odatda belgilanadi.
mos ravishda. Bundan tashqari, integrallarda Ō yoki Ō dan foydalanish sirtning u yoki bu tomonini tanlashga bog'liq Ō, bu esa, o'z navbatida, endi OY o'qining normal yo'nalishi va musbat yo'nalishi orasidagi burchak bilan belgilanadi. yoki OX o'qi.
Ilovalarda barcha uch turdagi integrallarning eng keng tarqalgan birikmalari:
Bu yerda P(x,y,z), Q(x,y,z) va R(x,y,z) Ō sirtda aniqlangan uzluksiz funksiyalardir.
Qulaylik uchun vektor deb taxmin qilishimiz mumkin
funktsiya:
U holda, birinchi turdagi sirt integrallarida bo'lgani kabi, teorema to'g'ri bo'ladi:
Teorema 1. Agar Ō bo'lakli silliq sirt va vektor funksiya bo'lsa
Ō uzluksiz P(x,y,z), Q(x,y,z) komponentlariga ega va
R(x,y,z), u holda ikkinchi turdagi (3) sirt integrali mavjud va yagona aniqlanadi.
(Kalinin V.V., Petrova I.V. K 18 Neft va gaz ta’limida matematika asosida. Nazariya va vazifalar: Darslik. - M .: Gubkin nomidagi Rossiya davlat neft va gaz universiteti, 2005 yil. 3-son 2-qism: Koʻplik, egri chiziqli va sirt integrallari - 139-142c)
Do'stlaringiz bilan baham: |
