O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

Ì à s h q l à r
3.29.
 {
a
n
} và {
b
n
} kåtmà-kåtliklàr uchun |
 a
n
|
 
≤ 
|
 b
n
| (
n 
= 
1,2,3,...)
và 
lim
0
n
n
b
→∞
=
 bo‘lsin. U hîldà 
lim
0
n
n
a
→∞
=
 bo‘lishini isbîtlàng.
3.30.
 Limitni hisîblàng:
1) 
2
1
1
lim
n
n
n
+
+
→∞
;
2) 
3
2
4
3
3
2
3
5
8
lim
n
n
n
n
n
−
+
→∞
−
+
;
3) 
5
2
lim (
21
3
4)
n
n
n
n
→∞
−
+
−
;
4) 
3
2
2
2
1
lim
n
n
n
n
n
+
→∞
− +
;
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

140
5) 
2
2
lim (
1
1)
n
n
n
→∞
+ −
−
;
6) 
2
3
2
3
4
5
lim
n
n
n
n
−
→∞
+
;
7) 
2
2
3
1
9
10
8
lim
n
n
n
n
+
→∞
−
−
;
8) 
2
2
5
5
lim
n
n
n
−
→∞
−
.
3.31.
 Êåtmà-kåtlikning limitini tîping:
1) 
2
2
1
...
1
...
,  (
1,  
1)
n
n
n
a a
a
b b
b
x
a
b
+ +
+ +
+ + + +
=
<
<
;
2) 
2
1 3 5 ... (2
1)
2
1
n
n
n
n
n
y
+ + + +
−
+ +
=
;
3) 
3
5
n n
n
n
z
=
+
;
4) 
3
2
3
2
n
n
n
n
n
z
+
−
=
;
5) 
1
1
n
n
n
x
+
+
=
;
6) 
2
1 2 3 ...
n
n
n
y
+ + + +
=
;
7) 
3 3
1
n
n
n
n
x
+
+
=
;
8) 
1 2
n
n
n
y
=
+
.
3.32.
 Limitlàrni tîping.
1) 
(
)
1
1
1
1 2
2 3
(
1)
lim
...
n
n
n
⋅
⋅
−
→∞
+
+ +
;
2) 
1
1
2
1
2
1
lim
n
n
n
−
→∞
+
;
3) 
3
3
lim (
2
)
n
n
n
→∞
+ −
;                       4) 
4
3
2
lim (
3
3)
n
n
n
n
→∞
+
−
−
.
6. Ìînîtîn kåtmà-kåtlikning limiti hàqidàgi tåîråmà.
 Ìàtåmà-
tik ànàlizning muhim tåîråmàlàridàn birini kåltiràmiz.
V å y å r s h t r à s s   t å î r å m à s i .  
Àgàr  kàmàymàydigàn
(o‘smàydigàn) 
{
x
n
} 
kåtmà-kåtlik yuqîridàn (quyidàn) chågàràlàngàn
bo‘lsà, u hîldà bu kåtmà-kåtlik limitgà egà bo‘làdi.
Bu tåîråmà îliy màtåmàtikà kursidà isbîtlànàdi. Biz bu tåîrå-
màning  tàtbiqigà  dîir  àyrim  misîllàr  qàràsh  bilàn  chågàràlà-
nàmiz.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

141
1 - m i s î l .  
( )
1
1
n
n
n
y
= +
 kåtmà-kåtlikning limiti màvjudligini
ko‘rsàtàmiz. Shu màqsàddà 
( )
1
1
1
n
n
n
x
+
= +
 kåtmà-kåtlikni qàrày-
miz. 
x
n
kåtmà-kåtlik  quyidàn  chågàràlàngàn  kåtmà-kåtlikdir:
x
n
 
> 
0.  Uning  o‘smàydigàn  kåtmà-kåtlik  ekànligi  1-§,  3-bànd,
4-misîldà ko‘rsàtilgàn.
Våyårshtràss tåîråmàsigà ko‘rà {
x
n
} kåtmà-kåtlik limitgà egà:
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
lim 1
1
1
1
1
1
1
lim 1
lim 1
lim
lim 1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
→∞
+
+
→∞
→∞
→∞
+
+
→∞
+
=
=
=
+
tånglikdàn, 
( )
1
lim 1
n
n
n
→∞
+
 limitning hàm màvjudligi kålib chiqàdi.
Bu limit 
e
 hàrfi îrqàli bålgilànàdi:
( )
1
lim 1
,  (
2,71828)
n
n
n
e
e
→∞
+
=
≈
,                         (1)
(
e
 = 
2,7182818284...).
å
  sîn  irràtsiînàl  sîn  ekànligi,  shuningdåk,  uning  håch  bir
butun kîeffitsiyåntli àlgåbràik tånglàmàning ildizi bo‘là îlmàsligi,
ya’ni 
trànssåntdånt
  sîn  ekànligi  isbîtlàngàn.  (1)  limit  ko‘pginà
màtåmàtik  tàdqiqîtlàrning  àsîsidà  yotuvchi  àjîyib  limitlàrning
biridir. 
e
 sîn màtåmàtikàdà àlîhidà àhàmiyatgà egàdir. Bungà siz
îliy màtåmàtikà bilàn shug‘ullàngàningizdà  ishînch hîsil qilàsiz.
2 - m i s î l .  Ìàmlàkàt àhîlisi yiligà 2 % o‘sàdi. 100 yildà màmlà-
kàt àhîlisi nåchà màrtà îrtàdi?
Y e c h i s h .  
À
 bilàn màmlàkàt àhîlisining dàstlàbki sînini bålgi-
làsàk, bir yildàn kåyin àhîli sîni 
( ) ( )
1
100
50
2
1
A
A
A
+
⋅ = +
⋅
 gà tång
bo‘làdi. Ikki yildàn kåyin àhîli sîni 
( )
2
1
50
1
A
⋅ +
 gà, yuz yildàn
kåyin esà 
( )
100
1
50
1
A
⋅ +
 gà tång bo‘làdi, ya’ni yuz yildàn kåyin
àhîli sîni 
( )
( )
2
100
50
1
1
50
50
1
1
A


⋅ +
=
+




 màrtà îrtàdi.
( )
1
lim 1
n
n
n
e
→∞
+
=
  ekànligini  e’tibîrgà  îlib, 
( )
50
1
50
1
e
+
≈
  dåb
hisîblàshimiz mumkin. Dåmàk, màmlàkàt àhîlisi sîni yuz yildàn
kåyin tàõminàn 
e
2
 
≈ 
7,89 màrtà îrtàdi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

142
Ì à s h q l à r
3.33. 
 ta ildiz
2
2
2 ...
2
n
n
a
=
+
+
+ +

  kåtmà-kåtlikning  limitini
tîping.
3.34.
 Råkurrånt usuldà bårilgàn kåtmà-kåtlikning limitgà egà
ekànligini isbîtlàng và limitini tîping:
1) 
1
1
1
1
2
2
,  
n
n
a
a
a
+
−
=
=
; 2) 
1
1
1
2
2
3
,  
n
n
a
a
a
+
−
=
=
.
3.35.
 Êåtmà-kåtlik 
n
 - hàdining fîrmulàsini tîping và shu kåtmà-
kåtlikning limitini hisîblàng:
1) 
1
1
1
2
3,  
,  (
2)
n
n
a
a
a
n
+
+
=
=
≥
;
2) 
1
2
1
2
5
3
1
2
2
2
1,  
,  
,  (
3)
n
n
n
a
a
a
a
a
n
−
−
=
=
=
−
≥
.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

143
IV  B Î B
FUNÊSIYANING LIÌIÒI  VÀ
UZLUÊSIZLIGI
1-§. Funksiyaning  limiti
1. Funksiyaning nuqtàdàgi bir tîmînlàmà limiti.
2
(
1)
0,5,  agar 
1 bo‘lsa,
( )
3
,  agar 
1 bo‘lsa, 
x
x
y
f x
x
x
ì
-
+
£
ï
=
= í
-
>
ïî
 funksiya bårilgàn
bo‘lsin.  Bu  funksiyaning  qiymàtlàr  jàdvàlini  tuzàmiz  và  uning
gràfigini  (IV.1-ràsm)  yasàymiz:
x
0
0,5 0,6 0,7
0,8
0,9
1 1,1 1,2 1,3 1,5 2
3
y
1,5 0,75 0,66 0,59 0,54 0,51 0,5 1,9 1,8 1,7 1,5 1
0
Jàdvàl và gràfikni kuzàtib, 
x
 àrgumånt 1 sînigà chàpdàn yaqin-
làshgàndà funksiyaning qiymàtlàri 0,5 sînidàn, o‘ng tîmîndàn
yaqinlàshgàndà  esà  2  sînidàn  istàlgànchà  kàm  fàrq  qilàdi  dåb
tàsdiqlàsh  mumkin.
0,5 soni bårilgan
 y
 
=
 
f
(
x
) funksiyaning 
x
 = 
1 nuqtàdàgi chàp
limiti, 2 sîni esà bårilgàn 
y 
=
 
f
(
x
)
 
funksiyaning 
x 
=
 
1 nuqtàdàgi
o‘ng limiti dåyilàdi.
Funksiya chàp và o‘ng limitlàrining qàt’iy màtåmàtik tà’rifini
båràmiz. Dàstlàb, chàp limit tà’rifini kåltiràylik.
y 
=
 
f
(
x
) funksiya và 
x 
=
 
a
 nuqtà bårilgàn bo‘lsin. Àgàr iõtiyoriy
e
 
>
 
0 sîn uchun 
a
 dàn kichik bo‘lgàn
shundày  bir 
N
  hàqiqiy  sîn  tîpilib,
N
 và 
a
 sînlàr îràsidà yotuvchi bàr-
chà 
x
 làr uchun (
N 
<
 
x 
<
 a
) |
f
(
x
)
 
-
 b
| 
<
  tångsizlik  bàjàrilsà, 
b
Î
R
  sîn 
y
=
= 
f
(
x
) funksiyaning 
x
 = 
à 
nuqtàdàgi
(yoki 
x
®
à
 dàgi) 
chàp limiti
 dåyilàdi.
Funksiyaning 
x
®
à
 dàgi chàp li-
miti 
0
lim
( )
x
a
f x
b
® -
=
  ko‘rinishdà
Y
X
O   
        1           2
y
 = 
f
 
(
x
)
2
1,5
1
0,5
IV.1-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

144
bålgilànàdi. 
x
®
à 
- 
0 bålgisi 
x
 ning 
a
 gà chàpdàn intilishini, ya’ni 
x
àrgumånt 
a
 gà 
a 
dàn kichik bo‘lib intilishini bildiràdi.
Yuqîridà kåltirilgàn misîldàn, 
1 0
lim
( ) 0,5
x
f x
® -
=
 ekànligi kålib
chiqàdi.
Funksiyaning 
x
®
à
 dàgi o‘ng limiti tushunchàsi hàm 
x
®
à
 dàgi
chàp limiti tushunchàsi kàbi tà’riflànàdi.
Àgàr 
e > 
0 sîn uchun 
a
 dàn kàttà bo‘lgàn shundày 
M
 hàqiqiy
sîn tîpilib, 
a
 và 
M
 sînlàr îràsidà yotuvchi bàrchà 
x
 làr (
a
 < 
x 
<
<
  M
) uchun  |
f
(
x
)
 - 
b
| 
< e
  tångsizlik  bàjàrilsà, 
b
  sîn 
y 
=
 
f
(
x
)
funksiyaning 
x 
=
 
à 
nuqtàdàgi (yoki 
x
®
à
 dàgi) 
o‘ng limiti
 dåyilàdi
và 
0
lim
( )
x
a
f x
b
® +
=
 ko‘rinishdà bålgilànàdi.
Yuqîridà qàràlgàn misîldàn 
1 0
lim
( ) 2
x
f x
® +
=
  gà egà bo‘làmiz.
Funksiyaning 
x
®
à
  dàgi  chàp  limitining  gåîmåtrik  mà’nîsi
quyidàgichà:
hàr  qàndày 
e  > 
0  sîn  uchun 
a 
dàn  kichik  shundày 
N
  sîn
tîpilàdiki, 
N
 và 
a
 sînlàri îràsidà yotuvchi bàrchà 
x
 làr uchun
funksiyaning gràfigi 
y 
= 
b
 - e
 
và 
y 
= 
b 
+ e
 
to‘g‘ri chiziqlàr bilàn
chågàràlàngàn 
yo‘làkdà
 yotàdi (IV.2-
a
 ràsm).
Àgàr 
f 
(
x
)  funksiyaning 
x
®
à
  dàgi  o‘ng  limiti 
b
  sîngà  tång
bo‘lsà, u hîldà uning gåîmåtrik mà’nîsi quyidàgichà bo‘làdi:
hàr  qàndày 
e  > 
0  sîn  uchun 
a
  dàn  kàttà  shundày 
M
  sîn
tîpilàdiki, 
a
 và 
M
 sînlàr îràsidà jîylàshgàn bàrchà 
x
 làr uchun
funksiyaning gràfigi 
y 
= 
b 
- e
 
và 
y 
= 
b
 + e
 
to‘g‘ri chiziqlàr bilàn
chågàràlàngàn 
yo‘làk
dà yotàdi (IV.2-
b
 ràsm).
Y
X
O   
    
N
    
                     a
b 
+ e
b 
- e
b
y
 = 
f 
(
x
)
Y
X
O   
    
 a
   
          M
b 
+ e
b 
- e
b
y
 = 
f 
(
x
)
                   
 à)                                                      b)
IV.2-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

145
Funksiyaning 
x
 = 
à
 nuqtàdàgi chàp và o‘ng limitlàri uning shu
nuqtàdàgi 
bir tîmînlàmà limitlàri
 dåyilàdi.
1 - m i s î l .  
2 0
lim (
1) 3
x
x
® -
+
=
 ekànligini isbîtlàng.
I s b î t .  
e
  iõtiyoriy  musbàt  sîn  và 
x
 
< 
2  bo‘lsin.  U  holda
|
f
(
x
) 
- 
3 | 
= 
|
x
 
+ 
1 
- 
3 | 
= 
|
x
 
- 
2 | 
= 
2 
- 
x
 < e
 bo‘lishi uchun 2
 - e <
<
 x
 < 
2 bo‘lishi yetàrlidir. Dåmàk, tà’rifdàgi 
N
 sîn sifàtidà 2
 - e
 sînni
yoki 2
 - e
 dàn kàttà, låkin 2 dàn kichik bo‘lgàn hàr qàndày sînni
îlish mumkin. Bu esà 
2 0
lim (
1) 3
x
x
® -
+
=
 ekànligini ko‘rsàtàdi (IV.3-
ràsm).
2 - m i s î l .  
1 0
lim
1
x
x
® +
=
 ekànligini isbîtlàymiz.
I s b î t .  
e
 iõtiyoriy musbàt sîn và 
x
 
> 
1 bo‘lsin. U hîldà
(
(
1
1
1
2
1
1
( ) 1
1
x
x
x
x
x
f x
x
-
-
-
+
+
-
=
- =
=
<
tångsizlik bàjàrilàdi. Bu yerdàn ko‘rinàdiki, | 
 f 
(
x
)
 - 
1 | 
< e
 bo‘lishi
uchun 
x
-
<
1
2
e
  và 
x
 
> 
1  bo‘lishi,  ya’ni  1
 
< 
x
 
< 
2
e
 
+ 
1  bo‘lishi
yetàrlidir. Dåmàk, tà’rifdàgi 
M
 sîn sifàtidà (1; 2
e
 
+ 
1) îràliqdàgi
hàr  qàndày  sînni îlish mumkin. Bu esà 
1 0
lim
1
x
x
® +
=
 ekànligini
ko‘rsàtàdi (IV.4-ràsm).
3 - m i s î l .  
2
3,  agar 
1 bo‘lsa,
( )
3
5,  agar 
1 bo‘lsa
x
x
f x
x
x
-
+
£
ì
= í
-
>
î
  funksiyaning
x
®
1 dàgi  bir  tîmînlàmà  limitlàrini  tîpàmiz.
3
 
+ e
3
 
- e
3
Y
-
1   
O
               2
-e 
N 
2
y
 = 
x
 + 
1
1
Y
X
X
1
 
+ e
1
 
- e
1
O  
         1   
M  
2
e
 
+ 
1
y
x
=