O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

3. Ìînîtîn kåtmà-kåtliklàr.
 {
x
n
} kåtmà-kåtlik bårilgàn bo‘lsin.
Àgàr  kåtmà-kåtlikning  ikkinchi  hàdidàn  bîshlàb,  hàr  bir  hàdi
o‘zidàn  îldingi  hàddàn  kàttà  (kichik)  bo‘lsà,  ya’ni 
x
n
+
1
  >
 
x
n
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

118
(
x
n
+
1
 <
 
x
n
)  shàrt  bàrchà  nàturàl 
n
  sînlàr  uchun  bàjàrilsà,  {
x
n
}
kåtmà-kåtlik 
o‘suvchi (kàmàyuvchi)
 kåtmà-kåtlik dåyilàdi.
1 - m i s î l .  
x
n
 
= 
3
n
3
 kåtmà-kåtlik o‘suvchi ekànini isbîtlàng.
I s b î t .  
x
n
+
1
 
− 
x
n
 àyirmàni qàràymiz:
x
n
+
1
 
− 
x
n
 
= 
3(
n 
+ 
1)
3
 
− 
3
n
3
 
= 
3(
n
3
 
+ 
3
n
2
 
+ 
3
n
 
+ 
1)
 
− 
3
n
3
 
= 
3(3
n
2
 
+ 
3
n 
+ 
1).
Bu àyirmà 
n
 ning istàlgàn nàturàl qiymàtidà musbàtdir. Shu sàbàbli,
bàrchà 
n
  nàturàl  sînlàrdà 
x
n
+
1
  >
 
x
n
,  ya’ni  {
x
n
}  kåtmà-kåtlik
o‘suvchidir.
2 - m i s î l .  
2
1
n
n
x
=
  kåtmà-kåtlikning kàmàyuvchi ekànligini
isbîtlàng.
I s b î t .  Bu kåtmà-kåtlikning hàmmà hàdlàri bir õil ishîràli
bo‘lgàni uchun 
1
n
n
x
x
+
 nisbàtni bàhîlàymiz:
2
2
1
2
2
1
(
1)
1
(
1)
1
n
n
x
n
n
x
n
n
+
+
+
=
=
<
.
x
n
 
> 
0 bo‘lgàni uchun, bàrchà nàturàl 
n
 làrdà 
x
n
+
1
 <
 
x
n
 tångsizlikkà
egàmiz. Dåmàk, {
x
n
} kàmàyuvchi kåtmà-kåtlikdir.
Àgàr  {
x
n
}  kåtmà-kåtlikning  ikkinchi  hàdidàn  bîshlàb,  hàr
bir hàdi o‘zidàn îldingi hàddàn kichik (kàttà) bo‘lmàsà, ya’ni
x
n
+
1 
≥ 
x
n 
    (
x
n
+
1 
≤ 
x
n
) tångsizlik bàrchà  
n
 nàturàl sînlàrdà bàjàrilsà,
{
x
n
}  kåtmà-kåtlik 
kàmàymàydigàn  (o‘smàydigàn)
  kåtmà-kåtlik
dåyilàdi.
Ìàsàlàn, 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 4; . . . kåtmà-kåtlik kàmày-
màydigàn, 
1
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
4
1
4
1
4
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ...
  kåtmà-kåtlik  esà
o‘smàydigàn kåtmà-kåtlikdir.
Hàr qàndày o‘suvchi kåtmà-kåtlik kàmàymàydigàn kåtmà-kåtlik
bo‘lishini, hàr qàndày kàmàyuvchi kåtmà-kåtlik esà o‘smàydigàn
kåtmà-kåtlik bo‘lishini eslàtib o‘tàmiz.
O‘smàydigàn  kåtmà-kåtliklàr  và  kàmàymàydigàn  kåtmà-
kåtliklàr  (umumiy  nîm  bilàn) 
mînîtîn
  kåtmà-kåtliklàr  dåb
àtàlàdi.
3 - m i s î l .  
1
2
1
n
n
n
x
+
−
=
  kåtmà-kåtlikni  mînîtînlikkà  tåkshi-
ràmiz.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

119
Y e c h i s h .  
1
2
2
1
3
2
1
2
1
4
1
0
n
n
n
n
n
n
n
x
x
+
+
+
−
+
−
−
−
=
= −
<
  tångsizlik 
n
ning bàrchà nàturàl qiymàtlàridà o‘rinli. Dåmàk, iõtiyoriy 
n
 nàturàl
sîn uchun 
x
n
+
1
 <
 
x
n
 tångsizlik to‘g‘ridir. Bu yerdàn, {
x
n
} kåtmà-
kåtlikning mînîtînligi kålib chiqàdi.
4 - m i s î l .  
n 
≥ 
2  bo‘lsà, 
( )
1
1
1
n
n
n
x
+
= +
  kåtmà-kåtlikni
mînîtînlikkà tåkshiràmiz.
Y e c h i s h .
( )
( )
1
2
2
2
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
n
n
n
n
n
n
−
+
+
−




=
⋅ +
=









 



=
−
⋅ +
<
−
⋅ +
=
−
<



 






 



tångsizlikdàn,  {
x
n
}  kåtmà-kåtlikning  kàmàyuvchi  ekànligi  kålib
chiqàdi (E s l à t m à :  
2
2
1
1
1
1
1
...
1
n
n
n
n
n


+ < + ⋅
+ =
+




).
Dåmàk, {
x
n
} kåtmà-kåtlik mînîtîn kåtmà-kåtlikdir.
5 - m i s î l .  
(2
1),  agar 
2
1,  
1,  2,  3,  ...;
2,  agar 
2 ,  
1,  2,  3,  ...
n
k
n
k
k
x
n
k k
−
−
=
−
=

= 
=
=

kåtmà-kåtlikni mînîtînlikkà tåkshiring.
Y e c h i s h .  Êåtmà-kåtlikni, uning hàdlàrini ko‘rsàtish îrqàli
båràylik:
−
1;  2;  
−
3;  2; 
 −
4;  2;  ... .
Bu  kåtmà-kåtlik  mînîtîn  kåtmà-kåtlik  emàs,  chunki  juft
nîmårli hàr qàndày hàdi o‘zidàn îldingi hàddàn hàm, shuningdåk
o‘zidàn kåyingi hàddàn hàm kàttà.
Ì à s h q l à r
3.11.
 
1
n
a
n
n
=
+ −
 kåtmà-kåtlik kàmàyuvchi ekànligini isbît-
làng.
3.12.
 Êåtmà-kåtlik mînîtîn ekànligini isbîtlàng:
1) 
1
n
n
n
a
−
=
;
2) 
2
1
n
n
a
=
−
.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

120
3.13.
 
a
, 
b
, 
c
 và 
d
 sînlàr îràsidà qàndày munîsàbàt bàjàrilsà,
n
an b
cn d
a
+
+
=
 kåtmà-kåtlik:  1) o‘suvchi; 2) kàmàyuvchi bo‘làdi?
4.  Prîgråssiyalàr.
  Êåtmà-kåtliklàrning  muhim  õususiy  hîli
bo‘lgàn prîgråssiyalàrni qàràymiz. {
õ
n
} chåksiz sînli kåtmà-kåtlik
bårilgàn bo‘lsin.
Àgàr {
õ
n
} kåtmà-kåtlik uchun shundày o‘zgàrmàs 
d
 sîn tîpilib,
bàrchà 
n
 nàturàl sînlàr uchun 
õ
n
+
1
 
=
 
õ
n 
+
 
d
 tånglik o‘rinli bo‘lsà,
{
õ
n
} kåtmà-kåtlik 
àrifmåtik prîgråssiya
 dåyilàdi.
Àgàr {
õ
n
} kåtmà-kåtlik uchun shundày 
q 
≠
 0  o‘zgàrmàs sîn
tîpilib,  bàrchà 
n
  nàturàl  sînlàrdà 
õ
n
+
1
 
=
 
õ
n
 ⋅ 
q
  tånglik  bàjàrilsà
và 
õ
1 
≠
 0 bo‘lsà, {
x
n
} kåtmà-kåtlik 
gåîmåtrik prîgråssiya
 dåyilàdi.
d
 sîn àrifmåtik prîgråssiyaning 
àyirmàsi
, 
q
 sîn esà gåîmåtrik
prîgråssiyaning 
màõràji
 dåyilàdi.
1 - m i s î l .  
a
n
 
=
 
kn 
+
 
m
 (bu yerdà 
k
, 
m
 – o‘zgàrmàs hàqiqiy
sînlàr)  kåtmà-kåtlikning  àrifmåtik  prîgråssiya, 
b
n
 
= 
ca
kn
+
m
  (bu
yerdà 
c 
≠
 0, 
a
 
> 
0, 
k 
≥ 
0, 
m 
≥ 
0) kåtmà-kåtlikning esà gåîmåtrik
prîgråssiya bo‘lishligini isbîtlàng.
I s b î t .  
n
 ning istàlgàn nàturàl qiymàtidà
1
( (
1)
) (
)
n
n
a
a
k n
m
kn m
k
+
−
=
+ +
−
+
=
 và 
( 1)
1
k n
m
k
n
kn m
n
b
c a
b
c a
a
+ +
+
+
⋅
⋅
=
=
,
ya’ni 
a
n
+
1
 
=
 
a
n
 
+
 
k
, 
b
n
+
1
 
=
 
b
n
a
k
 tångliklàr o‘rinli. Dåmàk, {
à
n
} kåtmà-
kåtlik àyirmàsi 
d
 
=
 
k
 bo‘lgàn àrifmåtik prîgråssiya, {
b
n
} kåtmà-
kåtlik esà màõràji 
q 
=
 
a
k
 bo‘lgàn gåîmåtrik prîgråssiyadir.
1 - t å î r å m à . 
Àyirmàsi d gà tång bo‘lgàn
 {
à
n
} 
àrifmåtik prîgrås-
siyaning umumiy hàdi uchun
a
n
 
=
 
a
1
 
+
 
(
n 
−
 
1)
d
,                                          (1)
màõràji q gà tång bo‘lgàn
 {
b
n
} 
gåîmåtrik prîgråssiyaning umumiy
hàdi uchun esà
b
n
 
=
 
b
1
q
n
−
1
                                                   (2)
tånglik o‘rinlidir.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

121
I s b î t .  Àrifmåtik và gåîmåtrik prîgråssiyalàrning tà’rifidàn
quyidàgilàrgà egà bo‘làmiz:
2
1
2
1
3
2
3
2
4
3
4
3
5
4
5
4
1
2
1
2
1
1
,
,
,
,
,
,
(
1) ta  
,
(3)  (
1) ta  
,
 (4)
...,
...,
,
,
,
.
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
d
b
b q
a
a
d
b
b q
a
a
d
b
b q
n
a
a
d
n
b
b q
a
a
d
b
b
q
a
a
d
b
b
q
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
−
−
⋅
−
−
=
+
=




=
+
=




=
+
=




−
=
+
−
=








=
+
=


=
+
=




(3) dàgi tångliklàrni hàdmà-hàd qo‘shib, (4) dàgi tångliklàrni
esà hàdmà-hàd ko‘pàytirib,
(
a
2
 + 
a
3
 + 
a
4
 + 
a
5
 + ... + 
a
n
−
1
)
 + 
a
n
 = 
a
1
 + 
(
a
2
 + 
a
3
 + 
a
4
 +
 
... +
 a
n
−
2
 +
+
a
n
−
1
) 
+ 
(
n 
−
1)
d
và
(
b
2
 ⋅ 
b
3
 ⋅ ... ⋅ 
b
n
−
1
) 
⋅ 
b
n 
= 
b
1
 ⋅ 
(
b
2
 ⋅ 
b
3
 ⋅ 
 
...  ⋅
 b
n
−
1
)
 ⋅
 q
n
−
1
tångliklàrni hîsil qilàmiz. Bu tångliklàrdàn tåîråmàning tàsdig‘i
o‘rinli ekànligi kålib chiqàdi.
2 - m i s î l .   (
a
n
)  kåtmà-kåtlik  àyirmàsi 
d
  bo‘lgàn  àrifmåtik
prîgråssiya,  (
b
n
)  kåtmà-kåtlik  esà  màõràji 
q
  bo‘lgàn  gåîmåtrik
prîgråssiya bo‘lsin. U hîldà iõtiyoriy 
n 
và 
k
 nàturàl sînlàr uchun,
a
n
 = 
a
k 
+ 
(
n 
− 
k
)
d
                                             (5)
b
n
 = 
b
k
 ⋅ 
q 
n
−
k
                                                 (6)
tångliklàr o‘rinli bo‘lishini isbîtlàymiz.
I s b î t .   1-tåîråmàgà  ko‘rà, 
a
n
 = 
a
1
 
+ 
(
n
 − 
1)
d
  và 
a
k
 = 
a
1
  +
+ 
(
k
 − 
1)
d
 tångliklàr o‘rinli. Bu tångliklàrning ikkinchisidàn,
 a
1
 =
= 
a
k 
−
(
k 
− 
1)
d
    ni  tîpib,  birinchisigà  qo‘ysàk  và  iõchàmlàshni
bàjàrsàk, isbîtlànishi kåràk bo‘lgàn (5) tånglik hîsil bo‘làdi.
(6) tånglik hàm shu tàrzdà isbîtlànàdi.
N à t i j à .   (
a
n
) 
àrifmåtik  prîgråssiyaning  àyirmàsi
 
d
 
uchun
,  (
)
n
k
a
a
n k
d
n k
−
−
=
≠
 
tånglik,
 (
b
n
) 
gåîmåtrik prîgråssiya màõràji q
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

122
uchun  esà 
 
,  agar 
1,
| |
,  agar 
2
n
k
n
n k
k
b
b
b
b
n k
q
n k
−

= +

= 

− ≥

    munîsàbàt    o‘rinli
(Ìustàqil isbîtlàng).
2 - t å î r å m à .  {
a
n
} 
kåtmà-kåtlik àyirmàsi d bo‘lgàn àrifmåtik
prîgråssiya,
  {
b
n
} 
kåtmà-kåtlik  esà  màõràji  q  bo‘lgàn  gåîmåtrik
prîgråssiya bo‘lsin.
 
Àgàr m, n, p, k nàturàl sînlàr uchun m
 
+
 
n 
= 
p
+
 
k
 tånglik bàjàrilsà,
a
m
 + 
a
n
 = 
a
p 
+ 
a
k
,                                              (7)
b
m
 ⋅ 
b
n 
=
 b
p
 ⋅ 
b
k
                                                  (8)
tångliklàr o‘rinli bo‘làdi.
I s b î t .  
m
, 
n
, 
p
, 
k
 nàturàl sînlàr uchun 
m
 
+
 
n 
= 
p 
+
 
k 
bo‘lsin.
U hîldà, 1-tåîråmàgà ko‘rà
a
m
 + 
a
n 
= 
2
a
1
 + 
(
m
 + 
n 
− 
2)
d
 = 
2
a
1
 + 
(
p
 + 
k
 − 
2)
d 
=
 a
p
 +
 a
k
và
2
2
2
2
1
1
m n
p k
m
n
p
k
b
b
b q
b q
b b
+ −
+ −
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
tångliklàrgà egà bo‘làmiz.
3 - m i s î l .  (
a
n
) àrifmåtik prîgråssiyadà 
a
17 
=
 310, 
a
23 
=
 418
bo‘lsà:
à) prîgråssiya àyirmàsi 
d
 ni; b) 
a
41
 ni; d) 
a
9
 + 
a
31
 ni; e)
a
20
ni; f)
a
5
 ni tîpàmiz.
Y e c h i s h .  à) 
23
17
418 310
108
23 17
6
6
18
a
a
d
−
−
−
=
=
=
=
;
b) 
a
41
 = 
a
17
 
+ 
(41
 − 
17)
d 
= 
310 
+ 
24
 ⋅ 
18
 
= 
742;
d) 9
 + 
31
 = 
17
 + 
23 bo‘lgàni uchun 2-tåîråmàgà ko‘rà
a
9
 + 
a
31
 = 
a
17
 + 
a
23
  = 
728;
e)  20
  + 
20
  = 
17
  + 
23  bo‘lgàni  uchun  2
a
20
 = 
a
17
 + 
a
23
 = 
728,
a
20
 = 
364.
f) 
a
5
 = 
a
17
 
+ 
(5
 − 
17)
d 
= 
310 
− 
12
 ⋅ 
18
 
= 
94.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

123
4 - m i s î l .   Bàrchà  hàdlàri  musbàt  bo‘lgàn  (
b
n
)  gåîmåtrik
prîgråssiyadà 
b
6
 = 
320, 
b
10
 = 
5120 bo‘lsà, quyidàgilàrni tîpàmiz:
à)  gåîmåtrik  prîgråssiya  màõràji 
q
  ni;  b) 
b
13
  ni;  d) 
b
4
  ni;
e) 
b
7
b
9
 ni; f) 
b
8
 ni.
Y e c h i s h :   à) 
10
6
4
10 6
4
5120
320
| |
16
2,
b
b
q
−
=
=
=
=
 
0
n
b
>
(
1,  2,  3,  ...)
n
=
  bo‘lgàni uchun 
q
 
> 
0 và, dåmàk, 
q
 
= 
2;
b) 
b
13
 = 
b
6
 ⋅ 
q
13
−
6
 
= 
320
 ⋅ 
2
7
 
= 
320
 ⋅ 
128
 
= 
40960;
d) 
4 6
2
4
6
320
4
320 2
80
b
b b
−
−
=
⋅
=
⋅
=
=
;
e)  7
  + 
9
  = 
6
  + 
10    bo‘lgàni    uchun   
7
9
6
10
b b
b b
⋅
=
⋅
=
320 5120 1638400
=
⋅
=
;
f) 8
 + 
8
 = 
6
 + 
10 bo‘lgàni uchun 
2
8
8
6
10
8
1638400
b
b b
b b
=
⋅
=
⋅
=
,
|
 b
8
 
| 
= 
1280.  
b
8
 > 
0 bo‘lgàni uchun 
b
8
 = 
1280 gà egà bo‘làmiz.
Endi àrifmåtik prîgråssiya dàstlàbki 
n
 tà hàdlàrining yig‘in-
disi 
S
n
 = 
a
1
 + 
a
2
 + 
a
3
 + 
...
 + 
a
n
−
2
 + 
a
n
−
1
 + 
a
n
 uchun fîrmulà hîsil
qilàmiz:
2
S
n
 = 
(
a
1
 + 
a
n
)
 + 
(
a
2
 + 
a
n
−
1
)
 + 
(
a
3
 + 
a
n
−
2
)
 + 
...
 + 
(
a
n
−
2
 + 
a
3
)
 +
 + 
(
a
n
−
1
 + 
a
2
)
 + 
(
a
n
 + 
a
1
).
Bu tånglikning o‘ng tîmînidà 
n
 tà qo‘shiluvchi màvjud bo‘lib,
1
 + 
n
 = 
2
 + 
(
n 
− 
1)
 = 
3
 + 
(
n 
−
 2)
 = 
... 
= 
(
n 
− 
2)
 + 
3
 = 
(
n
 − 
1)
 + 
2
 = 
n
 + 
1
tångliklàr o‘rinli. Shu sàbàbli 2-tåîråmàgà ko‘rà qo‘shiluvchilàrning
hàmmàsi 
 a
1
 + 
a
n
 gà tångdir.
1
2
(
)
n
n
S
a
a n
=
+
 tånglikkà egà bo‘ldik. Bundàn,
1
2
n
n
a a
S
n
+
=
⋅
fîrmulà hîsil bo‘làdi.
5 - m i s î l .  (
a
n
) àrifmåtik prîgråssiyadà 
a
20
 
=
 
364 bo‘lsà, 
S
39
 ni
tîping.
Y e c h i s h .  
1
39
20
20
39
2
2
39
39 364 39 14196
a a
a
a
S
+
+
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
.
Gåîmåtrik prîgråssiya dàstlàbki 
n
 tà hàdining yig‘indisi uchun
fîrmulà chiqàràmiz. (
b
n
) gåîmåtrik prîgråssiya, 
q
 esà uning màõ-
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

124
ràji  bo‘lsin.  (
b
n
)  gåîmåtrik  prîgråssiya  dàstlàbki 
n
  tà  hàdining
yig‘indisini 
S
n
 bilàn bålgilàymiz.
Àgàr 
q 
=
 
1 bo‘lsà, 
S
n
 
=
 
nb
1
 bo‘làdi.
q 
≠
 
1 hîlni qàràymiz.
1
2
1
1
2
1
(
...
) (
...
)
n
n
n
n
n
n
S
S q
b
b
b
b
b
b
b
b q
−
−
−
=
+
+ +
+
−
+
+ +
+
=
1
n
b
b q
=
−
tånglikdàn 
S
n
 ni tîpàmiz:
1
1
,  (
1)
n
n
b b q
q
S
q
−
−
=
≠
.
6 - m i s î l .  (
b
n
) gåîmåtrik prîgråssiyadà 
b
1
 
=
 
3, 
q 
=
 
2 bo‘lsà,
S
11 
ni tîping.
Y e c h i s h .  
11 1
10
11
1
3 2
3 1024 3072
b
b q
−
=
⋅
= ⋅
= ⋅
=
  bo‘lgàni
uchun
11
3 3072 2
3 6144
1 2
1
6141
S
−
⋅
−
−
−
=
=
=
.