|
5. Yarim àrgumåntning trigînîmåtrik funksiyalàri.
Bu fîrmu-
làlàr îldingi bànddà bårilgàn (4)–(11) fîrmulàlàrdàgi
a
o‘rnigà
a
2
ni qo‘yish îrqàli hîsil qilinàdi. Jumlàdàn,(7),(8) fîrmulàlàr bo‘-
yichà
2
1 cos
2
2
cos
,
a
+
a
=
2
1 cos
2
2
sin
a
-
a
=
yoki
1 cos
2
2
cos
a
+
a
=
; (1)
1 cos
2
2
sin
a
-
a
=
. (2)
Àgàr (2) tånglik (1) gà hàdmà-hàd bo‘linsà:
1 cos
2
1 cos
tg
a
-
a
+
a
=
(3)
tånglik hîsil bo‘làdi.
1
tg
ctg
a
a =
bo‘lgàni uchun
ctg
a
a
a
2
1
1
=
+
-
cos
cos
. (4)
tånglik hàm o‘rinlidir.
(1)–(4) fîrmulàlàr trigînîmåtrik funksiyalàr qiymàtlàrining
mîdulini tîpishgà imkîn båràdi. Ulàrning ishîràlàri esà
a
2
àrgumåntning qàysi chîràkkà tågishli ekànigà bîg‘liq.
Ì i s î l .
5
3
2
sin
,
p
a =
£ a £ p
ekàni mà’lum.
2
2
sin , cos ,
a
a
2
tg
a
ni tîpàmiz.
Y e c h i s h . Shàrtdàn fîydàlànib
p
a
p
4
2
2
£
£
bo‘lishini àniq-
làymiz. Bu îràliqdà bàrchà trigînîmåtrik funksiyalàr musbàt.
Yuqîridà tîpilgàn fîrmulàlàrdàn fîydàlànàmiz. Îldin cos
a
ni
tîpàylik:
2
5
2
9
3
cos
1 sin
1
a =
-
a = -
- = -
.
U hîldà:
( )
( )
2
2
1
1
3
3
1
5
2
2
2
2
2
6
6
cos
, sin
, tg
5
+ -
- -
a
a
a
=
=
=
=
=
.
www.ziyouz.com kutubxonasi
45
Yarim àrgumåntning tàngånsi uchun yanà bir fîrmulà hîsil
qilish màqsàdidà
tg
a
a
a
2
2
2
=
sin
cos
tånglikning o‘ng qismidàgi kàsr
suràt và màõràjini
2sin
a
2
gà ko‘pàytiràmiz:
( )
tg
a
a
a
a
a
a
a
a
2
2
2
2
2
2
2 1
2
2
2
1
2
=
=
=
× -
×
-
sin
cos sin
cos
sin
cos
sin
,
tg
a
a
a
2
1
=
-
cos
sin
. (5)
Àgàr suràt và màõràj
2cos
a
2
gà ko‘pàytirilsà,
tg
a
a
a
2
1
=
+
sin
cos
. (6)
(5) và (6) fîrmulàlàr bo‘yichà:
ctg
a
a
a
a
a
2
1
1
=
=
-
+
sin
cos
cos
sin
. (7)
M à s h q l à r
1.98.
Bårilgàn: 1)
a
p
=
6
; 2)
4
p
a =
; 3) cos
a = -
0,4,
2
p
< a < p
;
4) ctg
a =
4,
3
2
p < a < p
; 5) sin
a
=
0,8; 450
°
<
a <
540
°
.
Òîping:
2
2
2
sin ; cos ; tg
a
a
a
.
1.99.
sin15
°
, cos15
°
, sin18
°
, cos18
°
, sin12
°
, cos12
°
làr
hisîblànsin.
1.100.
Ifîdàlàrni sîddàlàshtiring:
1)
1
6
2
-
cos
a
;
2)
1
10
+
cos
x
;
3)
2
2
2
cos
cos
a
a
-
;
4)
1
4
4
+
cos
sin
a
a
;
5)
( )
( )
sin
sin
7
2
1
5
2
1
p a
p a
- +
+ +
.
1.101.
Àyniyatlàrni isbît qiling:
1)
( )
( )
2
2
4
2
1 cos
2 cos
p
p
a
-
+ a =
-
;
www.ziyouz.com kutubxonasi
46
2)
(
)
( )
2
5
2
4
2
1 cos
2 sin
p
p
a
+
+ a =
-
; 3)
( )
( )
tg
ctg
2
2
tg
ctg
2
2
cos
a
a
p-
-
a
a
+
p-
= -
a
;
4)
(
)
tg
ctg
ctg
p
a
a
a
-
+
=
2
2
2
; 5)
4
4
3 cos 4
4
sin
cos
+
a
a +
a =
;
6) cos
4
a -
sin
4
a =
cos2
a
.
6. Òrigînîmåtrik funksiyalàrni yarim àrgumånt tàngånsi îrqàli
ifîdàlàsh.
sin
a
và cos
a
ni
2
tg
a
îrqàli ifîdàlàshdà
sin
a =
2
2
2 sin
cos
a
a
=
×
,
2
2
2
2
cos
cos
sin
a
a
a =
-
và
2
2
2
2
sin
cos
1
a
a
+
=
fîrmulàlàrdàn fîydàlànàmiz.
2
2
2 sin
cos
2
2
cos
sin
2
2
sin
a
a
×
a
a
+
a =
tånglikkà egà-
miz. Bu tånglikdàgi kàsrning suràt và màõràjini
2
2
cos
0
a
¹
gà
bo‘lib,
2
2 tg
2
1 tg
2
sin
a
a
+
a =
(1)
tånglikni hîsil qilàmiz. Õuddi shu kàbi,
2
2
2
2
cos
sin
2
2
cos
sin
2
2
cos
a
a
-
a
a
+
a =
tång-
lik yordàmidà quyidàgi tånglik hîsil qilinàdi:
2
2
1 tg
2
1 tg
2
cos
a
-
a
+
a =
. (2)
tg
a
và ctg
a
ni
tg
a
2
îrqàli ifîdàlàsh uchun (1) ni (2) gà và
àksinchà, (2) ni (1) gà hàdmà-hàd bo‘lish yetàrli. Nàtijàdà
quyidàgi tångliklàrgà egà bo‘làmiz:
2
2 tg
2
1 tg
2
tg
a
a
-
a =
, (3)
2
1 tg
2
2 tg
2
ctg
a
-
a
a =
. (4)
Ì i s î l . Àgàr
2
2
3
tg
a
= -
bo‘lsà,
2 3
+
-
cos
a
a
4 5sin
ni hisîblàng.
www.ziyouz.com kutubxonasi
47
Y e c h i s h . (1) và (2) fîrmulàlàrgà ko‘rà,
( )
( )
2
2
4
2
1
3
9
12
5
13
4
13
2
1
1
9
3
sin
, cos
× -
-
+
+ -
a =
= -
a =
=
.
Bundàn
15
2
2 3 cos
13
41
4 5 sin
112
60
4
13
+
+
a
-
a
+
=
=
.
Ì à s h q l à r
1.102.
Ifîdàni sîddàlàshtiring:
1)
tg
tg
2
a
a
a
×
+
cos 2
1
;
2)
cos2
tg
tg
2
2
a
a
a
a
-
×
+
cos 2
1
.
1.103.
1
2
2
tg
x
=
bo‘lsà, sin
x
, cos
x
, tg
x
, ctg
x
ni tîping.
1.104.
1
5
sin
cos
x
x
+
=
bo‘lsà,
2
tg
x
ni tîping.
1.105.
Àyniyatni isbîtlàng:
1)
1 tg
cos
2
1-sin
1 tg
2
a
+
a
a
a
-
=
;
2)
ctg
1
cos
2
1 sin
ctg
1
2
a -
a
+
a
a +
=
;
3)
2
tg
1
1 sin
2
1 sin
tg
1
2
a +
+
a
a
-
a
-
æ
ö
ç
÷ =
ç
÷
è
ø
;
4)
1 sin
cos
1 sin
cos
2
ctg
+
a+
a
a
+
a-
a
=
;
5)
(
)
2
2
2
2
cos
1 tg
1 sin
a
a
+
= +
a
; 6)
(
)
2
2
2
2
sin
ctg
1
1 sin
a
a
-
= -
a
.
7. Òrigînîmåtrik funksiyalàr yig‘indisini ko‘pàytmàgà và
ko‘pàytmàsini yig‘indigà àylàntirish.
Ikki burchàk yig‘indisi và
àyirmàsi sinusi munîsàbàtlàrini hàdmà-hàd qo‘shàylik:
sin( + ) = sin cos + cos sin
sin( – ) = sin cos – cos sin
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
sin( + ) + sin( - ) = 2sin cos ,
a
b
a b
a
b
bundàn:
www.ziyouz.com kutubxonasi
48
(
)
1
2
sin cos
sin(
) sin(
)
a
b =
a + b +
a - b
. (1)
Shu kàbi ikki burchàk kîsinusi yig‘indisi và àyirmàsi munîsà-
bàtlàrini hàdmà-hàd qo‘shsàk và àyirsàk, quyidàgi fîrmulàlàr
hîsil bo‘làdi:
(
)
1
2
cos cos
cos(
) cos(
)
a
b =
a + b +
a - b
, (2)
(
)
1
2
sin sin
cos(
) cos(
)
a
b =
a - b -
a + b
. (3)
Òrigînîmåtrik funksiyalàr ko‘pàytmàsini yig‘indi yoki àyirmà
ko‘rinishigà kåltirish màqsàdidà
a + b =
u
,
a - b =
v
dåb îlàmiz.
Bulàrdàn
2
2
,
u
u
+
-
a =
b =
v
v
làrni tîpib, (1) fîrmulàgà qo‘ysàk,
nàtijàdà:
2
2
sin
sin
2 sin
cos
u
u
u
+
-
+
=
v
v
v
. (4)
(4) fîrmulàdà
v
ni
-
v
gà àlmàshtirsàk,
2
2
sin
sin
2 sin
cos
u
u
u
-
+
-
=
v
v
v
. (5)
(2) và (3) fîrmulàlàr bo‘yichà quyidàgi tångliklàr hîsil
bo‘làdi:
2
2
cos
cos
2 cos
cos
u
u
u
+
-
+
=
v
v
v
, (6)
2
2
cos
cos
2 sin
sin
u
u
u
+
-
-
= -
v
v
v
. (7)
1
-
m i s î l . cos45
°
+
cos15
°
ni hisîblàymiz.
Y e c h i s h . (6) fîrmulà bo‘yichà:
45 15
45 15
2
2
3
3
1
2
2
2
cos 45
cos15
2 cos
cos
2 cos 60 cos 30
2
.
+
-
+
=
=
=
= × ×
=
o
o
o
o
o
o
o
o
Òàngåns và kîtàngånsgà tààlluqli fîrmulàlàrni chiqàràylik:
sin(
)
sin
sin
sin cos
cos sin
cos
cos
cos cos
cos cos
tg
tg
u
u
u
u
u
u
u
u
+
+
+
=
+
=
=
v
v
v
v
v
v
v
v
,
bundàn
sin(
)
cos cos
2
tg
tg
, ,
,
u
u
u
u
k k
Z
+
p
+
=
¹ + p
Î
v
v
v
v
. (8)
Quyidàgi fîrmulàlàr hàm shu tàrtibdà kåltirib chiqàrilàdi:
sin(
)
cos cos
2
tg
tg
, ,
,
u
u
u
u
k k
Z
-
p
-
=
¹ + p
Î
v
v
v
v
, (9)
www.ziyouz.com kutubxonasi
49
ctg
ctg
u
u
k k
Z
u
u
+
=
¹
Î
+
v
v
v
v
sin(
)
sin sin
, ,
,
p
, (10)
ctg
ctg
u
u
k k
Z
u
u
-
=
¹
Î
-
v
v
v
v
sin(
)
sin sin
, ,
,
p
. (11)
2
-
m i s î l . Àgàr
u
+
v
+
w
= p
bo‘lsà, ctg
u
+
ctg
v
-
tg
w
=
= -
ctg
u
ctg
v
tg
w
bo‘lishini isbît qilàmiz.
Y e c h i s h .
ctg
u
+
ctg
v
-
tg
w
=
ctg
u
+
ctg
v
-
tg(
p -
(
u
+
v
))
=
ctg
u
+
ctg
v
+
tg(
u
+
v
)
=
sin(
)
sin(
)
sin(
)(cos(
) sin sin )
sin(
)cos cos
sin sin
cos(
)
sin sin cos(
)
sin sin cos(
)
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
+
+
+
+ +
+
+
+
+
=
+
=
=
=
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
ctg ctg tg(
) ctg ctg tg(
)
ctg ctg tg
u
u
u
w
u
w
=
+
=
p -
= -
v
v
v
v
Do'stlaringiz bilan baham: |
