|
3. Kåltirish fîrmulàlàri.
Îldingi bàndlàrdà
p - a
,
p + a
,
p
a
2
-
,
p
a
2
+
burchàklàr sinusi, kîsinusi, tàngånsi, kîtàngånsi uchun
fîrmulàlàr chiqàrilgàn edi. Ulàrdàn hàmdà ikki burchàk yig‘indisi
và àyirmàsi fîrmulàlàridàn fîydàlànib,
3
2
p
a
±
, 2
p
±
a
burchàklàr
uchun fîrmulàlàrni chiqàrà îlàmiz. Bu fîrmulàlàr bir burchàk
funksiyasini bîshqà burchàk funksiyalàri îrqàli ifîdàlàshgà,
õususàn, o‘tmàs burchàk funksiyalàrini o‘tkir burchàk funksiya-
làrigà kåltirishgà imkîn båràdi. Ìàsàlàn,
(
)
(
)
3
2
2
cos
cos
(
)
sin(
) sin
p
p + a =
+ p + a = -
p + a =
a
. (1)
Shu kàbi,
www.ziyouz.com kutubxonasi
40
(
)
sin
cos
3
2
p a
a
+
= -
; (2)
(
)
(
)
(
)
tg
ctg
3
2
3
2
3
2
p a
a
p a
p a
a
a
+
=
=
= -
+
+
-
sin
cos
cos
sin
; (3)
(
)
ctg
tg
3
2
p a
a
+
= -
. (4)
Kåltirish fîrmulàlàri ko‘p, ulàrni esdà sàqlàsh màqsàdidà
ushbu
mnåmînik qîidà
dàn hàm fîydàlànàmiz (yunînchà
mn
å
monikon
– ko‘p qîidàlàr màjmuàsini yoddà sàqlàshni
yengillàshtiruvchi usul):
1)
àgàr àrgumånt
2
p
±
a
ko‘rinishdà bo‘lsà, trigînîmåtrik
funksiyaning nîmi o‘zgàrmàydi;
2)
àgàr àrgumånt
p
a
2
±
,
3
2
p
a
±
ko‘rinishdà bo‘lsà, funksiya-
ning nîmi o‘zgàràdi (sinus kîsinusgà và àksinchà, tàngåns
kîtàngånsgà và àksinchà);
3)
bårilgàn trigînîmåtrik funksiya àrgumånti qàysi chîràkdà
yotgàn bo‘lsà, funksiyaning o‘shà chîràkdàgi ishîràsi izlànàyotgàn
funksiya îldigà qo‘yilàdi.
Kåltirish fîrmulàlàrini quyidàgi jàdvàl ko‘rinishidà umum-
làshtiràmiz:
p
a
2
-
p
a
2
+
p - a p + a
3
2
p
a
-
3
2
p
a
+
2
p - a
2
p + a
sin
a
cos
a
cos
a
sin
a -
sin
a -
cos
a -
cos
a -
sin
a
sin
a
cos
a
sin
a -
sin
a -
cos
a -
cos
a -
sin
a
sin
a
cos
a
cos
a
tg
a
ctg
a -
ctg
a -
tg
a
tg
a
ctg
a
-
ctg
a -
tg
a
tg
a
ctg
a
tg
a -
tg
a -
ctg
a
ctg
a
tg
a
-
tg
a -
ctg
a
ctg
a
Ì i s î l . à) cos(15
p + a
); b) tg(
p + a
) ifîdàlàrni o‘tkir
burchàk trigînîmåtrik funksiya ko‘rinishigà kåltiràmiz,
0
2
<
<
a
p
.
Y e c h i s h . a) cos( 7•2
p + p + a
)
=
cos(
p + a
). Bundà
p + a
burchàk, dåmàk, 15
p + a
burchàk hàm, uchinchi chîràkkà
qàràshli. Bu chîràkdà kîsinusning ishîràsi mànfiy, hîsil
bo‘làdigàn funksiyaning nîmi kîsinusligichà qîlàdi. Dåmàk,
cos(15
p + a
)
= -
cos
a
;
b) uchinchi chîràkdà tàngåns musbàt. Nàtijàdà tg(
p + a
)
=
tg
a
hîsil bo‘làdi.
www.ziyouz.com kutubxonasi
41
Ì à s h q l à r
1.86.
Bir nåchà kåltirish fîrmulàsini gåîmåtrik usuldà isbît-
làng.
1.87.
Ifîdàning qiymàtini tîping:
1 ) sin1080
°
;
2) cos1080
°
;
3) tg1080
°
;
4) ctg1080
°
;
5) 1080
°
li yoy sàhmini;
6)
( )
5
6
sin 7
p
;
7)
(
)
49
6
cos
-
p
; 8)
(
)
29
8
tg
-
p
; 9)
(
)
32
3
ctg
- p
.
1.88.
Ifîdàlàrni sîddàlàshtiring:
1)
( ) ( )
( ) ( )
55
51
73
101
3
4
3
4
sin
cos
sin
cos
p
p
p
p
-
-
; 2)
tg
tg
ctg
ctg
-
æ
èç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷
-
æ
èç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷
32
3
47
4
1
17
6
21
4
p
p
p
p
.
1.89.
Àyniyatlàrni isbît qiling:
1)
(
)
(
)
(
) (
)
2
2
5
2 sin
cos 16
1 tg (
)
2
5
7
1 tg (
)
cos(
) 2 cos
cos
2
2
p+a
p+b
+
p+a+b
p
p
-
p-a+b
a-b +
+a
+b
=
;
2)
sin
cos
(cos(
) sin )
(sin(
) cos(
))
9
2
11
2
2
4
1
2
5
9
p a
p a
p a
a
p a
p a
+
æ
èç
ö
ø÷ +
+
æ
èç
ö
ø÷
+ +
×
+
+
-
= -
;
3)
(
)
( )
(
)
(
) (
)
2
19
7
sin 11
cos
tg
2
2
19
15
cos
cos
tg( 11 )
2
2
ctg
x
x
x
x
x
x
x
p
p
p-
+
-
p
p
-
-
- p
= -
.
4. Ikkilàngàn và uchlàngàn àrgumåntning trigînîmåtrik
funksiyalàri.
Àgàr
a + b
burchàk trigînîmåtrik funksiyalàri
fîrmulàlàridà
a = b
dåyilsà, 2
a
burchàk trigînîmåtrik funksiyalàri
fîrmulàlàri hîsil qilinàdi. Ulàr 2
a
àrgumånt funksiyasini
a
àrgumånt funksiyasi îrqàli ifîdàlàshgà imkîn båràdi:
sin2
a =
2sin
a
cos
a
; (1) cos2
a =
cos
2
a -
sin
2
a
; (2)
2
2tg
1 tg
tg2
a
-
a
a =
; (3)
2
ctg
1
2ctg
ctg2
a-
a
a =
. (4)
Àksinchà,
a
àrgumånt funksiyasini 2
a
funksiyasi îrqàli hàm
bårish mumkin. Chunînchi, 1
=
sin
2
a +
cos
2
a
àyniyat và (2)
fîrmulà bo‘yichà 1
+
cos2
a =
2cos
2
a
và 1
-
cos2
a =
2sin
2
a
yoki
www.ziyouz.com kutubxonasi
42
cos2
a =
2cos
2
a -
1 (5)
và
cos2
a =
1
-
2sin
2
a
(6)
hosil qilinàdi. (5) và (6) fîrmulàlàrni quyidàgi ko‘rinishdà hàm
yozish mumkin:
2
1 cos 2
2
cos
+
a
a =
; (7)
2
1 cos 2
2
sin
-
a
a =
. (8)
Àgàr cos
a ¹
0 bo‘lsà, (1) tånglikning o‘ng qismini sin
2
a +
+
cos
2
a
gà, ya’ni 1 gà, so‘ng suràt và màõràjni cos
2
a
gà bo‘lsàk,
quyidàgini hîsil qilàmiz:
2
2
2
2
2
2
sin cos
2
2 sin cos
cos
sin
cos
sin
cos
cos
sin2
a
a
a
a
×
a
a
a+
a
a+
a
a =
=
,
bundàn:
2
2tg
1+tg
sin2
a
a
a =
. (9)
Shu kàbi:
2
2
1 tg
1+tg
cos
0 äà cos 2
-
a
a
a ¹
a =
. (10)
Shuningdåk,
1
tg2
ctg2
a
a =
và (3) fîrmulà bo‘yichà:
2
1 tg
2tg
2
ctg2
,
,
k
a
k
Z
-
a
p
a
a =
¹
Î
. (11)
Uchlàngàn àrgumånt 3
a
ning trigînîmåtrik funksiyalàrini
yuqîridà tîpilgàn fîrmulàlàrdàn fîydàlànib tîpish mumkin.
Ìàsàlàn,
sin3
a =
sin(2
a + a
)
=
sin2
a
cos
a +
cos2
a
sin
a =
=
2sin
a
cos
2
a +
(1
-
2sin
2
a
)sin
a
=
sin
a
(2(cos
2
a -
sin
2
a
)
+
1)
=
=
sin
a
(2(1
-
2sin
2
a
)
+
1)
=
sin
a
(3
-
4sin
2
a
),
sin3
a =
sin
a
(3
-
4sin
2
a
). (12)
Shu kàbi: cos3
a =
cos
a
(4cos
2
a -
3).
www.ziyouz.com kutubxonasi
43
Ì à s h q l à r
1.90.
sin
a = -
0,83,
p a
p
<
<
3
2
bo‘yichà sin2
a
, cos2
a
, tg2
a
ni
tîping.
1.91.
cos
a = -
0,4, sin
a <
0 bo‘yichà sin2
a
, cos2
a
, tg2
a
ni
tîping.
1.92.
tg
a
=
-
3 bo‘yichà ctg2
a
ni tîping.
1.93.
Àgàr
0
<
<
a
p
2
bo‘lsà, sin2
a <
2sin
a
bo‘lishini isbît qiling.
1.94.
ctg
a = -
1,2,
p
a
p
2
<
<
bo‘yichà sin3
a
, cos3
a
, cos4
a
, tg4
a
ni tîping.
1.95.
Àgàr tg
a
=
0,3, tg
b
=
0,4 bo‘lsà, tg(2
a - b
) ni tîping.
1.96.
Àyniyatlàrni isbît qiling:
1)
(
)
2
cos 2 1 cos
1
2
5
cos
2
2
ctg
t
t
t
t
p
+ -
+
= -
;
2)
2
2
4
2
2
sin
sin
sin
t
t
t
t
t
-
+
=
sin4
tg
2
;
3)
sin
cos
2
2
2
2
t
t
t
t
+
=
tg
tg2
;
4)
1 2
2
2
-
=
-
cos
t
t
t
t
1
2
sin4
tg2
ctg
;
5)
cos
sin
t
t
t
t
+
= +
ctg
ctg
1
2
;
6)
( ) ( )
2
1
4
4
2
2
1
cos
sin
t
t
t
-
-
-
=
2ctg
p
p
;
7)
1
+
=
+
cos
sin
t
t
t
t
tg
tg
;
8)
( )
2
4 1
2
2
2
2
8
sin (
)
sin
t
t
t
t
-
+
=
tg
1+ctg
2
p
;
9)
cos
cos
cos
sin
sin
sin
2 5
3
4
2 5
3
4
3
t
t
t
t
t
t
t
+
+
+
+
=
ctg
; 10) tg55
°
tg65
°
tg75
°
=
tg85
°
.
1.97.
Ifîdàlàrni sîddàlàshtiring:
1)
2
3
4
5
6
7
15
15
15
15
15
15
15
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
p
p
p
p
p
p
p
;
2)
(
)
(
)
2
2
2
2
5
11
2
2
sin
cos
sin (5
)sin
cos (5
)cos
p
p
a -
a -
p-a
a -
p-a
+ a
;
3)
(
)
(
)
2 sin(17
)
13
2
15
sin
tg sin(
)
2
2ctg
2
p-a
p
p +a + a
-a
- a +
;
4)
2
2
3
3
2
2
cos
sin
sin
sin
cos
a
a
a
a
a
-
-
+
;
5)
sin
cos
sin
cos
cos
4
4
2
2 2
2
2
2
2
2 1
t
t
t
t
t
+
-
-
;
www.ziyouz.com kutubxonasi
44
6) 1
+
2cos2
a +
2cos4
a +
2cos6
a
;
7)
(
)
(
)
7
17
2
2
2
2
cos
tg(5
) sin
p
p
- a
+ a
p - a +
; 8)
( )
(1 tg2 ) cos
2
4
1 tg2
p
+
a
+ a
-
a
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
