Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

знать: структуру и свойства порядков квадратичных полей;

• 
  структуру и общие свойства эллиптических кривых;
  

уметь:

• 
  оценивать число точек эллиптической кривой над конечным полем;
  
• 
  вычислятьj-инвариант эллиптической кривой и записывать классовый многочлен по найденному j-инварианту, редуцировать этот многочлен и находить из него j-инвариант редуцированной по простому модулю;
  
• 
  записывать уравнение эллиптической кривой над простым полем по заданномуj-инварианту;
  
• 
  вычислять подходящий для криптографии модуль редукции;
  

владеть:

• 
  методом исследования свойств порядков квадратичных полей c помощью бинарных квадратичных форм;
  
• 
  общим алгоритмом генерации эллиптических кривых, подходящих для криптографии.
  

Краткая характеристика учебной дисциплины (основные блоки и темы)

Содержание основных разделов (тем) курса Тема 1. Мнимые квадратичные поля Задачи и программа курса. Место метода комплексного умножения на эллиптических кривых и его приложений в криптографии в ряду других математических дисциплин. Источники его развития и области приложения. Формы самостоятельной работы студентов по изучению курса. Основная литература к курсу. Основные определения. Дискриминант квадратичного поля. Кольцо целых квадратичного поля. Разложение простых чисел в квадратичном поле. Эквивалентность идеалов в кольце целых. Дробные идеалы. Группа классов идеалов. Немаксимальные порядки в квадратичных полях. Собственные дробные идеалы для немаксимальных порядков. Тема 2. Бинарные квадратичные формы Основные определения. Примитивные формы. Положительно определённые формы. Дискриминант формы. Редуцированные формы. Эквивалентность форм. Группа классов форм. Изоморфизм с группой классов идеалов мнимого квадратичного поля.