Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Тема 3. Введение в эллиптические кривые
Основные определения. Гладкие кривые. Уравнение Вейерштрасса. Морфизмы и изоморфизмы эллиптических кривых. Дискриминант и j-инвариант, их основные свойства. Сложение точек эллиптической кривой. Группа точек эллиптической кривой. Изоморфизмы эллиптических кривых над полем характеристики  2, 3. Сложение точек эллиптической кривой над полем характеристики  2, 3. Изогении и гомоморфизмы эллиптических кривых. Подгруппы кручения. Структура кольца эндоморфизмов эллиптической кривой. Примеры колец эндоморфизмов. Группа автоморфизмов эллиптической кривой. Аффинное координатное кольцо. Поле рациональных функций. Индуцированный гомоморфизм. Понятие степени отображения. Дуальный эндоморфизм, его свойства. Проективный предел групп и колец. Кольцо целых p-адических чисел. Поле Q_p. Модуль Тэйта эллиптической кривой. Подъём эндоморфизмов. След и определитель эндоморфизма. Эллиптические кривые над конечными полями. Эндоморфизм Фробениуса. Число точек эллиптической кривой над конечным полем. Теорема Хассе. След эндоморфизма Фробениуса. Обыкновенные и суперсингулярные кривые. Структура группы точек эллиптической кривой. Алгоритм Корначчи.
Тема 4. Эллиптические кривые над C
Решётки. Двоякопериодические функции. Эллиптические функции. Ряд Эйзенштейна. Функция Вейерштрасса. Поле эллиптических функций. Дифференциальное уравнение для функции Вейерштрасса. Теорема сложения для функции Вейерштрасса. j-инвариант решётки. Комплексные торы. Фундаментальный параллелограмм решётки. Топология комплексного тора. Изоморфизм эллиптической кривой и комплексного тора. Римановы поверхности. Отображения римановых поверхностей. Комплексный тор как риманова поверхность. Разложения в ряд Эйзенштейна коэффициентов дифференциального уравнения -функции. Дробно-линейные преобразования. Модулярная группа. Свойства j-инварианта.
Тема 5. Комплексное умножение
Идеалы мнимого квадратичного поля как решётки. Эквивалентные условия для комплексного умножения. Кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой с комплексным умножением. Характеризация множества классов эквивалентных эллиптических кривых с комплексным умножением.