Основы теории подобия

Теория подобия - это учение о подобии явлений. Впервые с понятием подобия мы встречаемся в геометрии, откуда этот термин и заимствован. Как известно, геометрически подобные фигуры, напри­мер треугольники, обладают свойством, что их соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны, т.е.
 (117)
где l₁', l₂', l₃'- линейные размеры одной фигуры;
l₁″, l₂″, l₃″- сходственнее линейные размеры другой фигуры;
C_l - константа геометрического подобия.
Условие (116) является математической формулировкой геометрического подобия.
Понятие подобия может быть распространено на любые физические явления. Можно говорить, например, о подобии движения двух потоков жидкости-кинематическом подобии; о подобии сил, вызывающих подобные между собой движения, динамическом подобии; о подобии распределения температур и тепловых потоков - тепловом подобии и т.п.
Для сложных физических явлений должны выполняться следующие условия подобия:
1) Понятие подобия в отношении физических явлений применимо только к явлениям одного и того же рода, которые качественно оди­наковы и описываются одинаковыми уравнениями, как по форме, так и по содержанию.
Если же математическое описание двух каких-либо явлений одинаково по форме, но различно по физическому содержанию, то такие явления называются аналогичными. Такая аналогия существует, напри­мер, между процессами теплопроводности, электропроводности и диффузии.
2) Обязательной предпосылкой подобия физических явлений долж­но быть геометрическое подобие, т.е. подобные явления всегда про­текают в геометрически подобных системах.
3) При анализе подобных явлений сопоставлять между собой мож­но только однородные величины и лишь в сходственных точках прост­ранства и в сходственные моменты времени.
Однородными называются такие величины, которые имеют один и тот же физический смысл и одинаковую размерность.
Сходственными точками геометрически подобных систем называ­ются такие точки, координаты которых удовлетворяют условию (116):
 ,  , 
Два промежутка времени τ' и τ″ называются сходственными, если они имеют начало отсчета, и связаны преобразованием подобия, т.е. τ″=С_τ*τ'
4) Подобие двух физических явлений означает подобие всех ве­личин, характеризующих рассматриваемых явлений.
Это означает, что в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени любая величина φ' первого явления пропорциональна однородной с ней величине φ" второго явления, т.е.
φ"= С_φ*φ'
где С_φ- константа подобия (или множитель подобного преобразования).
При этом физическая величина имеет свою константу по­добия, например:
 ,  ,  ,  , 
Приведенные константы подобия называют: линейная, плотностная, температурная, скоростная, временная.
Константы подобия для различных величин в подобных явлениях нельзя назначать или избирать произвольно. Между ними имеются строго определенные соотношения, которые выводятся из анализа математичес­кого описания процессов. Эти соотношения имеют центральное значение в теории подобия, так как они устанавливают существование особых величин, называемых числами или критериями подобия, которые для всех подобных между собой явлений сохраняют одно и то же числовое значение. Покажем это на примере. Для примера воспользуемся диффе­ренциальным уравнением теплоотдачи. Это уравнение для сходственных точек двух подобных систем запишется так:
для первой системы  (а)
для второй системы  (б)
Обозначим константы подобия:
 ,  ,  ,  (в)
где l- характерный (определяющий) размер системы. Из уравнений (в) получаем:
 ,  ,  ,  ,  , 
Подставив эти выражения в уравнение (б), получим

Сократив на С_t и разделив левую и правую часть на С_α, получим

 (г)
Сравнивая (а) и (г), получим, что
 (д)
Из уравнения (д) следует, что выбор комплекса констант подо­бия ограничен условием: любая их комбинация должна быть равна еди­нице. Величину С называют индикатором подобия.
Заменив значения констант подобия в уравнении (д) из уравнений (в), получаем:
 , 
Умножив левую и правую часть последнего уравнения на α″*l″/λ″, получим
α'*l'/λ'=α″*l″/λ″
или в общем случае  (е)
Такие комплексы величин называются числами подобия.
Числа подобия являются безразмерными комплексами, составлен­ными из разнородных физических величин, характеризующих данное явление. При этом нулевая размерность является характерным свойством числа подобия и может служить проверкой правильности его составле­ния. Числа подобия принято называть именами ученых, работающих в соответствующей области науки, и обозначать двумя начальными буквами их фамилий. Получают числа подобия из аналитических зависи­мостей, описывающих данный процесс. Таким образом, математические описания процесса, хотя бы в виде неинтегрируемых дифференциальных уравнений общего вида, является необходимой предпосылкой ис­пользования теории подобия. Это положение лежит в основе практи­ческого применения теории подобия.
Записанное уравнением (е) число называют числом Нуссельта и обозначают N_U. Равенство (е) можно представить в виде:

Для характеристики подобия явлений можно применять константы подобия и числа подобия. Но при этом нужно помнить, что константе подобия сохраняют числовое значение только для двух подобных явлений, оставаясь одинаковыми для всех сходственных точек рассматривае­мых систем. Числа подобия сохраняют свое числовое значение в сходственных точках всех подобных между собой систем, но в различных точках одной и той же системы они могут иметь разные числовые зна­чения.

Основные положения теории подобия обычно формулируются в виде теорем подобия.